Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
69
J+ ((ри с (O))) П J~ ((cIu с (0))) компактно, что и приводит к ожидаемому противоречию.
(-4=) Предположим теперь, что (М, g) глобально гиперболично. Допуская, что (М XfH, g) не является глобально гиперболическим, мы должны показать, что (Н, h) неполно. Вследствие сильно^ причинности (М, g) искривленное произведение (М XfH, g), согласно предложению 2.49, также сильно причинно. Вследствие того что (М X4H, g) не является глобально гиперболическим, в (/И Xf Н, g) должна существовать пара различных точек (plt ^1) и (р2, Ьг), для которых множество J+ Iip1, Ь)) П J~ ((рг А)) некомпактно. Тогда найдется направленная в будущее непространственноподобная кривая у : [0, 1) —> J+ ((ply Li1)) f| J~ ((р2, b2)), непродолжаемая в будущее в (Mxf Н, g). Пусть у (t) — (U1 (J), Ui(J)), где M1I(O1I)-VM и «2 : [0,1) -> Н. Тогда ^:(0,1)-*--> M — направленная в будущее непространственноподобная кривая, содержащаяся в J+ (рг) f| J~ (р2). Последнее компактно вследствие глобальной гиперболичности (М, g). Отсюда вытекает, что а0 = inf {/ (т) : т ? J+ Ip1) f) J~ (р2)\ > 0. Ввиду сильной причинности (М, g) никакая направленная в будущее непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая не может быть захвачена в будущем компактным множеством J+ Ip1) f| J~ (р2) (см. предложение 2.9). Тем самым существует точка г ^ J+ (P1) П П J~ (pz), такая, что Iim U1 (t) = г. Тогда, полагая U1 (1) = г,
U1 можно продолжить до непрерывной кривой U1 : [0, 1] -*-М. В силу того что кривая 7 = (U1, и2) непродолжаема в t = 1, заключаем, что U2 (t) не может сходиться ни к какой точке из H при t 1". Тогда по лемме 2.52 либо (Я, h) неполно, либо U2 имеет бесконечную длину. Так как непространственноподобная кривая U1 : [0, 1 ] M определена на замкнутом отрезке, то она имеет в (М, g) конечную длину. Вследствие того что / (U1 (t)) ^ ^ а0 > 0 для всех t Є [0, 1 ] и
І W (0- у' № = g (и{ (t), и{ (0) + / ("і (0) h ("2 (t), W2 (t)) с 0,
кривая U2 в (Я, h) также имеет конечную длину. Поэтому (Я, h) неполно, что и требовалось. ?
Для глобально гиперболических лоренцевых искривленных произведений поверхности Коши можно строить следующим образом.
Теорема 2.56. Пусть (Н, h) — полное риманово многообразие и (М XfH, g)—лоренцево искривленное произведение (М, g) и (Я, h).
(1) Если M = (а, Ь), где — оо с й <6 с оо, наделено метрикой —df, то {P1] XH — поверхность Коши многообразия (М XfH, g) для любой точки рх ? M, 70
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
(2) Если многообразие (М, g) глобально гиперболично и S1 — его поверхность Коти, то S1XH — поверхность Коши для (М Xf Н, І).
Доказательство. Вследствие того что доказательства утверждений (1) и (2) весьма схожи, мы приведем только доказательство утверждения (2). При высказанных предположениях S1 Xr Я является ахрональным подмножеством многообразия (М XfH, g). Чтобы доказать, что S1XH — поверхность Коши, нужно убедиться в том, что каждая непродолжаемая непространственноподобная кривая в MXfH встречает S1 X Я. Возьмем точку (Рк Pi) € M х H\S! X Я, а в остальном произвольную. Тогда либо каждая направленная в будущее непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая в (М, g), исходящая из ри встречает S1, либо каждая направленная в прошлое непродолжаемая в прошлое непространственноподобная кривая, исходящая из P1, встречает S1. Ввиду того что оба случая Еесьма похожи, будем предполагать, что выполнена первая из двух возможностей, и покажем тогда, что каждая направленная в будущее непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая у : [0, 1) ->-->- M XfH, у которой у (0) - (plt р2), встречает S1 X Я.
Предположим противное: найдется направленная в будущее непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая у : [0, 1) ->- M XfH, исходящая из точки у (0) = (plt р2), которая не встречает S1 X Я. Представим 7 (t) в следующем виде: У (t) - (U1 (t), U2 (*)), где U1: [0, 1) ->¦ М, U2 : [0, 1) -> Я. Так как .S1 является поверхностью Коши для (М, g), а (М, g) глобально гиперболично, то множество J+ (P1) П J~ (S1) компактно (см. Бим и Эрлих (1979а, с. 163)). Как и в доказательстве теоремы 2.55, сильная причинность (М, g) означает, что существует точка г (z J+ (рі) П J~ (Si), Для которой Iim U1 (і) - г. Вследствие ком-
пактности множества J* (P1) П J~ (S1) искривляющая функция /: M ->- (0, оо) достигает на нем минимума а0 > 0. Как и в доказательстве теоремы 2.55, это означает, что кривая U2'. [0, 1) —>- Я имеет конечную длину. Ввиду полноты (Я, h) и в силу леммы 2.52
в H найдется точка b --- Iim U2 (і). Полагая у (1) (г, Ь), про-
t-*i-
должаем 7 до непространственноподобной направленной в будущее кривой 7: [0, 1 ] ->- M XfH, что противоречит непродолжаемости 7. Отсюда следует, что 7 должна встретить S1 X Я, как и требуется. ?
Обратимся теперь к рассмотрению непространственноподобной геодезической полноты лоренцевых искривленных произведений M = (a, b) Xf Н, g — —df ф /h. Пространство-время называется здесь изотропно (соответственно времениподобно) геодези- 2.6. Искривленные произведения
