Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем приступить к рассмотрению предложения 2.51, сформулируем следующее замечание.
Замечание 2.50. Если g g: на М, то существует гладкий конформный множитель Q : M - > (0, оо), такой, что ^g1 (и, у) < < g (и, и) для всех ненулевых векторов, непространственноподобных относительно метрики g.
Предложение 2.51. Пусть (М, g)—пространство-время и (Н, h) — риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведение (М XfH, g) является устойчиво причинным в том и только том случае, когда (М, g) устойчиво причинно.
Доказательство. При доказательстве мы будем пользоваться отождествлением Tp (М X Н) ^ TpiM X TbH для всех р = = (Pu Ь) Є M X Н.
Предполагая, что (М XfH, g) устойчиво причинно, получаем, что существует метрика g! (j Lor (М X Н), такая, что g gi и gj причинна. Если b — фиксированная точка в Я, то без потери общности можно считать, что gr | т]-1 (Ь) невырожденна (вследствие невырожденности g I т]-1 (Ь)). Полагая gi == gi | "П-1 (b) и используя я I T]"1 (Ь) для отождествления T]-1 (Ь) с М, получим метрику gr (j Lor (M), такую, что л | т]-1 (Ь) является изометрией 2.6. Искривленные произведения
65
(1I"1 Ф), gi) на (/И, gj). Заметим, что в силу причинности (М X X Я, gr) пространство-время (т]_1 (b), gj, а отсюда и (М, g:) являются причинными. Чтобы доказать справедливость отношения g gi на /И, выберем ненулевой вектор V1 (j TPlM так, чтобы g U1) < 0. Обозначив через Ob нулевой вектор в TbH, получаем, что g (v, v) =g(vu_vi < 0, где_ V (иь 0/) ? TplM X X TbH. Из того, что g < gi, вытекает gt (v, v) gx (уь ) < 0. Отсюда следует, что g gi и (М, g) устойчиво причинно.
Обратно, предположим теперь, что (М, g) устойчиво причинно. Пусть g1 ? Lor (M) — причинная метрика, удовлетворяющая условию g gi- Согласно замечанию 2.50, можно считать, что gi Фі> ui) < ё Фі> vi) Для всех векторов V1 Ф 0, непространственно-подобных относительно метрики g. Так как предложение 2.48 позволяет утверждать, что g: = gt ф /h — причинная метрика на M X Я, то достаточно показать, что g g^ Пусть v — == (ylt и2) — ненулевой вектор в касательном пространстве Tp (М X Я), являющийся непрцстранственноподобным относительно метрики g. Тогда вследствие неравенств g (у, v) = g Фи Wi) + / Ф Ф)) h ф2, V2) <0 и / (я (о)) h (v2, v2) > 0 и (последнее выполняется при V2 Ф 0) из нетривиальное™ V получаем, ЧТО V1 ф 0 И g (vlt V1) < 0. Поэтому g! (V, v) ~ gi (U1, V1) + / Ф Ф)) h (v2, v2) < g (?, U1) + / (я (у)) h (v2, V2) < 0. Полученное неравенство доказывает справедливость отношения g g, и всего утверждения. ?
Теорема расщепления Герока (см. теорему 2.13) гарантирует, что любое глобально гиперболическое пространство-время можно представить в виде топологического произведения IR X S, где S — гиперповерхность Копій. Результат Герока подсказывает, какие условия следует наложить на (My g) и на (Я, h) для того, чтобы искривленное произведение (М XfH, g) было глобально гиперболично. Эти условия приведены в теореме 2.53 (для (IimAi=-I) и в теореме 2.55 (для dim M ^ 2). Чтобы доказать эти теоремы, необходимо показать сначала, что в полном римановом пространстве непродолжаемая в одном направлении кривая должна иметь бесконечную длину.
Лемма 2.52. Пусть (Н, h) — полное риманово многообразие. Если у '¦ [0, 1) —> H — кривая конечной длины в (Я, h), то найдется точка р 6 H, такая, что у (t) —> р при t —> 1".
Доказательство. Обозначим через d0 риманову функцию расстояния, индуцированную на H римановой метрикой h. Пусть L = L0 (у) — риманова длина дуги кривой у и К. = {q ? d0 (у (0). q) <¦ L\. Из теоремы Хопфа—Ринова (см. лике
3 Дж. Бим, П. Эрлих 66
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
(1965), с. 163—164)) вытекает, что множество К. компактно. Зафиксируем в [0, 1) последовательность \tn\, сходящуюся к 1, tn —» 1. В силу неравенства d (у (0), у (t)) с L (у | [0, Л) < L, справедливого для всех t ? [0, 1), имеем у [0, 1) с: К.. Вследствие компактности К. последовательность {7 (tn)J имеет предельную точку Если Iim 7 (t) ф р, то тогда должно существовать
I-
б > 0, такое, что 7 покидает шар \т ? M : d (р, tri) < е} бесконечное число раз. Но это приводило бы к тому, что 7 имеет бесконечную длину, что противоречит условию. ?
Формулируемую ниже теорему можно получить из следствия 2.43 и леммы 2.52. Ее доказательство аналогично доказательству теоремы 2.55 и потому будет опущено.
Теорема 2.53. Пусть (Я, h) —риманово многообразие, a M = = (а, Ь), где —оо < а < b < 00, наделено отрицательно определенной метрикой —dt2. Тогда лоренцево искривленное произведение (М X f Я, g) является глобально гиперболическим в том и только том случае, когда (Я, h) полно.
Теорему 2.53 можно рассматривать как «метрическое обращение» теоремы расщепления Герока. В случае, если f --- 1, так что искривленное произведение (М XfH, g) является просто метрическим произведением (М X Я, g ф h), теорему 2.53 можно усилить, включив и геодезическую полноту (определение геодезической полноты см. в определении 5.2).
Теорема 2.54. Пусть (Я, h) —риманово многообразие. Предположим, что на произведении R X H задана лоренцева метрика —dt2 ф h. Тогда следующие три утверждения равносильны:
