Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
- ё(У2, z2) Hv(X1)] г
+ -J- {[Xi (ф)гх (ф) -f~g (х2, z2) II grad <р ||2 (/?)] у2 -
- ІУі (ф) Z1 (ф) + і (г/,, z2) I grad ф I2 (/?)] +
+ ІУі (<Г) g (*а. Z2) - X1 (Ф) g (г/о, г2)] grad ф (р)}, (2.8)
где х, у, z d T(P,q) (М X Я).
Пусть dim M = т и dim H — п. Для вычисления в точке P (P. q) ? M X H кривизны Риччи выберем в TpM базис Ie1, ...,ет\ так, чтобы g (elt е,) = -1, g (eJt ef) - 1 для 2 с С / < m и g (eh es) = 0, если і Ф /. Пусть {ет+1, ..., ет+п\ — ортонормированный базис пространства TqH. Тогда для любых х, у ? Тр(М X Н) имеем
т+п
Ric (х, у) = —g (R (еъ х) у, е,) I- ? g (R (cj, x) у, e}).
і-- 276
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
Даламбертиан Пф функции ср можно вычислить по правилу
т.
? Ф (р) = ~ К (еъ Єї) - h Ij К (ei- eD-
/=2
Используя формулу (2.8), получаем
Ric (х, у) = Ric1 (х,, й) + Ric2 (х2, у2) —
- g (хй, У*) [-Y ? Ф (P) + II grad ф (р) I2 ] -
dim H , , ч dim Я , ч , .
--2 К (xI' Уі)---4— xI (ф) Уі (Ф)> (2-9)
где X (X1, х2), у =. (ylt у2) ? Tiflt д) (М X Я), a Ric1 и Ric2-тензоры кривизны Риччи многообразий (М, g) и (Я, h) соответственно.
Сосредоточим теперь наше внимание на случае, когда M = — (a, b) X .H с метрикой искривленного произведения g = —di2 ф /Н. В этом случае Пф (t) =-. — ф" (t) и || grad ф (/) |]2 == — [ф' (Ol2- Поэтому из формулы (2.9) для v = (0, и) ^ € T(t, q) (R X Я) получаем
Ric (o, V) = Ric2 (V, V) - h g (V, V) {4-ф" (t) -L- ^L [ф' (/)]«] . (2.10)
Если X — d!dt\ t + V ? T{t,q) (R X Я), где v ? TqH, то
R ic (х, х) = Ric2 (и, V) f g (V, V) {-І- Ф" (0 ! ¦
¦ I- ^[Ф'(О)2} + {-^Ф" (0 - ^ [Ф' (О)2}• (2-Й)
Выражения, заключенные в формулах (2.10) и (2.11) в фигурные скобки, будут положительными при условии, что
— [ф' (г)]2 dim Я < 2ф" (t) < - [ф' (it)]2 (2.12)
для всех t 6 (а, Ь). Поэтому, если Ric2 (и, v) ^ Q для всех v ? TH и выполняется неравенство (2.12), то кривизна Риччи пространства-времени (М, g) будет всюду положительна. Глобально гиперболическое семейство таких пространств образуют искривленные произведения M = (0, оо) X }Н, в которых (Я, h) — полное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи и g =. —df- ф /h с / (t) = V, где г ? R — постоянная, подчиненная условию 2/dim Я < г < 2. Если в качестве (Я, h) взять R3 с обычной евклидовой метрикой и положить г = 4/3, то мы получим вселенную Эйнштейна — де Ситтера (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 157), Сакс и By (1977а, предложение 6.2.7 и далее)).2.6. Искривленные произведения
77
Если тензор Риччн многообразия (Я, h) ограничен снизу, то для положительности непространственноподобной кривизны Риччи можно получить на ф = In / следующее условие.
Предложение 2.59. Пусть M = (a, b) X УЯ, где п = dim Я ^2ag = —dt2 © /h, ф = In /. Предположим, что Ric2 (v, v) ^
Xh (u, v) для некоторой постоянной X^Rh всех v ? TH. Тогда, если неравенство
2ф" (0 < min {— (ф' (I))2, 4 (я- I)"1 >.<?-"<'>} (2.13)
выполняется для всех t G (а, Ь), то лоренцево искривленное произведение (/Vf, g) имеет всюду положительную непространственно-подобную кривизну Риччи.
Доказательство. Достаточно показать, что Rie (х, х) > О для всех непространственноподобных касательных векторов х вида X - - д/ді + V ? T (Af X Я), v ? ТЯ. Вследствие того что g (х, х) с 0 и g (dldt, dldt) = —1, имеем ? = g (v, v) < 1. Отсюда О < P < 1. Тогда h (v, V) = Pe-cP1 и из формулы (2.11) мы получаем
Ric (х, х) ^ fie-«! + ---\ j ф" + ~Т Ф - !) (Ф')2- (2.14)
Поэтому неравенство Ric (х, х) > 0 будет выполнено, если для всех ? G ГО, 1 ] ф" < G (?), где
г ли - ~?)((p')3
и w ~ 2 (я — р)
Нетрудно подсчитать, что на отрезке [0, 1 ] производная G' (?) не изменяет знака. Поэтому минимальное значение на [0, 1 ] функция G (?) принимает либо при ? - 0, либо при ? = 1. Следовательно, Ric (х, х) > 0 при условии, что ф" < min {G (0), G (1)}. Последнее неравенство и дает условие (2.13). ?
Рассмотрим теперь скалярную кривизну искривленных произведений вида Af = R X /Я, g =—dt2 ф /h. Ниже будем считать, что п = dim Я. Пусть (t, q) ? M — произвольная точка. Выберем Cj ? TqH, 1 < j < я, так, что если es = (0, е}) ? T(t< q)M, то векторы [dldt = (dldt, Oq), elt ...,еп\ образуют g-ортонорми-рованный базис пространства T(t,q)M. Отсюда следует, что {[//(/) еи ..., Yf (t) еп} есть h-ортонормированный базис TqH. Поэтому если т: M -у R и тн: H R — скалярные кривизны соответственно (Af, g) и (Я, h), то
т (/, q) — Ric [A _JL] 2 Ric(ё}, ё})78
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
и
т«(<7) = /(02 Ric2M-/=і
Приведенные выше формулы (2.10) и (2.11) можно упростить:
ж] =-jT ф'(0--гГФ'(0]* (2-15)
и
Ric (ё„ ij) = Ric2 (e]t е}) + -L ф"(0 + -j" ІФ' (Ol2. (2-16) где 1 с j с п. Тем самым справедлива формула
т (/, q) = J^r тя (</) |- Иф" (0 I- 4" ("2 -ь «) [ф' (О]2-
Вспоминая, что ф (/) -= In / (/), можно переписать ее в следующем виде:
т (t, q) = -Ir T77 O7) -f и + 4- (/I2 - 3«) [ ]2, (2.17)
где dim H = п, как и выше. В частности, при п =- 3 (как в общей теории относительности) получаем