Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(а) (Я, h) — геодезически полное.
(б) (R X Я, —dt2 ф h) — геодезически полное.
(в) (R X Я, —dt2 ф h) — глобально гиперболическое.
Доказательство. Из теоремы 2.53 нам известно, что (а) выполняется или не выполняется одновременно с (в). Поэтому остается показать равносильность (а) и (б). Но она является следствием того факта, что все геодезические произведения R X Я имеют (с точностью до параметризации) либо вид (kt, с (t)), (Xc, с (t)), либо вид (Ы, Ь0), где X, X0 ? R — постоянные, b0 ? H, а с : J —> —> H — нормальная геодезическая в Я. ?
Предположим, что пространство-время (М, g) размерности ^3 имеет всюду неотрицательную непространственноподобную кривизну Риччи и удовлетворяет «типовому условию»: все непро-должаемые непространственноподобные геодезические содержат точку, в которой кривизна отлична от нуля (см. определение 11.7, 2.6. Искривленные произведения
67
где дается точная фромулировка типового условия). Тогда, если пространство-время (М, g) имеет компактную поверхность Коши, то оно геодезически неполно. Поэтому для произвольных искривленных произведений усиление теоремы 2.53 за счет геодезической полноты (как в теореме 2.54) невозможно. Космологические модели «большого взрыва» Робертсона—Уокера (см. разд. 4.4) являются примерами глобально гиперболических искривленных произведений, которые геодезически не полны.
С другой стороны, пусть (R X Я, —dt2 ф h) — пространство-время вида, рассматриваемого в теореме 2.54. Зафиксируем точку Ьп ? Я. Тогда у (t) = (t, Ь1}) является времениподобной геодезической, у которой R (у' (і), и) = 0 для всех v Є Tylt) (R X Я) и любых t ? R. Поэтому (R X Я, —dt2 ф h) не может удовлетворять типовому условию.
Если dim M=I и Al гомеоморфно R, мы можем дать необходимые и достаточные условия для того, чтобы искривленное произведение M Xf H было глобально гиперболическим (см. теорему 2.53). Если же M = S1, то, как мы отметили выше, (М XfH, g) не является хронологическим вне зависимости от того, какая риманова метрика h выбрана на Я. Поэтому никакое искривленное произведение (S1 Xf Я, g) не может быть глобально гиперболическим пространством-временем.
Рассмотрим теперь случай dim M^ 2.
Теорема 2.55. Пусть (М, g) — пространство-вреия и (Я, h) — риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведение (М XfH, g) является глобально гиперболическим в том и только том случае, когда одновременно выполнены следующие условия'.
(а) (М, g) —глобально гиперболическое.
(б) (Я, h) — полное риманово многообразие.
Доказательство. (=^) Предположим сначала, что (М X f Я, g) является глобально гиперболическим. Фиксируя b Iz Я, можно отождествить (M, g) с замкнутым подмногообразием rf1 (b) = - M X \Ь\ вследствие того, что отображение проектирования л \ і-)-1 (b) — > M является изометрией. Из леммы 2.47 вытекает, что при таком отождествлении множество (P1) П J' (<7і) в M соответствует множеству rf1 (Ь) П J+ ((P1, b)) П J~ ((<7i, b)) в Mxf Я_для любых р}, q1 ? М. Так как if1 (b) замкнуто, а (М Xf Я, g) глобально гиперболично, то rf1 (b) f| J+ ((P1, b)) f| П J~ ((<7i, b)) компактно в M XfH. Отсюда следует, что J+ (P1) f| П J~ (<7i) компактно в М. Так как (М X f Я, g) глобально гиперболично, то оно также и сильно причинно. Тем самым, согласно предложению 2.49, (М, g) сильно причинно. Значит, (М, g) глобально гиперболично, как и требовалось.
3* 68
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
(<7i. с(0))
У
(P1A с„
fprc(o;
г
Рис. 2.10. В доказательстве теоремы 2.55 кривая с: [0, Р)->Я является геодезической, непродолжае-мой в t = ? < оо. Кривые у (/) = = (V1 (/), с (/)) и у = (Yl (L - /), с (/)) — непродолжаемые непро-странственноподобные кривые
в (М X f Н, я,) и, следовательно, не имеют компактного замыкания.
Покажем, что глобальная гиперболичность (М XfH, g) означает, что (Я, h) — полное риманово многообразие. Предположим, что (Я, h) неполно, и получим отсюда противоречие с глобальной гиперболичностью (M XfH, g). Зафиксируем произвольную пару точек P1, ? М, связанных отношением P1 qu и рассмотрим в M направленную в будущее времениподобную кривую Y1 : [0, L] —> M с единичным вектором скорости, идущую из P1 в qv Положим a = sup {/ (Y1 (0) '¦ t ? [0, L]}, где / : : M —> (0, оо)—заданная искривляющая функция. Вследствие того что Yi ([0, L]) — компактное подмножество М, имеем 0 < < а < оо.
Ввиду предположенной неполноты (Я, h) из теоремы Хопфа— Ринова получаем, что существует геодезическая с : [0, ?) —;> Я, удовлетворяющая условию h (с'[t), с' (t)) = 1/а и не продолжаемая в t = ? < оо. Путем изменения с (0) и перепараметризации с, если это необходимо, можно добиться того, чтобы 0 < ? < 1/2. Определим направленную в будущее непространственноподобную кривую у : [0, ?) -н> M X H и направленную в прошлое непространственноподобную кривую Y : [0, ?) —> M X Я, положив соответственно Y (t) = (Yi (t), б (t)) и У (t) = (Yi (L — t), с (t)). Для каждого t, 0 < t < ?, вследствие условия t < L — t имеем Yi (t) <€ Yi (L —t) в (М, g). Отсюда по лемме 2.47 мы заключаем, что (Yi (t), с (()) С (Yi (L — t), с (t)) в MXiH. Поэтому [ръ с (0)) < Y Y it) С (<7i, с (0)) для всех 0 с t < ? (рис. 2.10). Отсюда следует, что у ([0, ?) ] содержится в J+ ((р1г с (0)) П J~ ((<7i. с (0))). Ввиду того что с = ц о у не имеет компактного замыкания в Я, кривая Y '• [0, ?) -> M X^ Я не имеет компактного замыкания в J+ ({ръ с (0))) П J~ ((<7i> с(0))). Однако вследствие глобальной гиперболичности (M XfH, g) множество 2.6. Искривленные произведения
