Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
x(tlg)=jliTxH(q) = 3^. (2.18)
Пример 2.60. Пользуясь полученными в этом разделе формулами, приведем пример однопараметрического семейства gk не-изометричных между собой метрик Эйнштейна для R"+1, такого, что при к — 0 получается (п + 1)-мерное пространство-время Минковского (R"+I, g0). Пусть (R", h) есть я-мерное евклидово пространство с обычной евклидовой метрикой h = dx? 4- ¦ ¦ • + dx*n. Рассмотрим семейство, составляющими которого являются искривленные произведения Mx = R"+1 =Rx R" с лорендевыми метриками = — d? ф euh, т. е. / (i) = eht. По теореме 2.57 для всех к > 0 пространство-время (R"+1, gx) является изотропно геодезически полным в будущем, но изотропно геодезически неполным в прошлом, а для всех к < 0 пространство-время (R"+I. gx) изотропно геодезически полно в прошлом, но не является изотропно геодезически полным в будущем. Применяя формулы (2.15)—(2.17), получаем
Riefe,) = -?^? (2.19) 2.6. Искривленные произведения
79
Таким образом, если К Ф О, то (Mkt gi) представляет собой пространство-время Эйнштейна с постоянной положительной скалярной кривизной.
Пример 2.61. Пусть Mk = (0, оо) X ,R3, где gK = —dt2 ф /h, / (t) = Ы, X > 0, и h — обычная евклидова метрика на R3. Тогда из формулы (2.18) немедленно следует, что т (gk) = 0 для всех X > 0. С другой стороны, вследствие равенства ср (t) = In (kt) можно убедиться, используя формулы (2.15) и (2.16), что для любого X > 0 [Mk, gk) не является ни риччи-плоским, ни эйнштейновым. Кроме того, для любого К > 0 и всех t > 0
Отсюда вытекает, что пространство-время {Mk, gk) «непродолжаемо через» {0} X R3 (см. разд. 5.5). Отметим также, что по теореме 2.57 (Мк, gf) изотропно геодезически полно в будущем. Глава З
ЛОРЕНЦЕВО РАССТОЯНИЕ
Цель этой главы состоит в том, чтобы изучить свойства лоренцева расстояния, соответствующие основным свойствам ри-манова расстояния (см. гл. 1), и показать, как лоренцево расстояние связано с причинной структурой заданного пространства-времени. Мы покажем также, что отображения сильно причинного пространства-времени на себя, которые сохраняют лоренцево расстояние, являются диффеоморфизмами, сохраняющими метрический тензор.
Хотя многие свойства римановой и лоренцевой функций расстояния похожи, в этой главе будут выявлены также и многие существенные различия. Тем не менее как в этой главе, так и в последующих главах двойственность между «минимальными» свойствами в римановых многообразиях и «максимальными» в лоренцевых многообразиях будет постоянно отмечаться.
3.1. Основные понятия и определения
Пусть (М, g) — лоренцево многообразие размерности, большей или равной двум. Для заданных точек р, q ? М, связанных отношением р <. q, обозначим через Qp, q пространство путей, образованное всеми направленными в будущее непространствен-ноподобными кривыми у: fO, 1 ] М, для которых у (0) = р, у (1) —- ц. Функционал лоренцевой длины дуги L Lg: Q;)j (/ R определяется по следующему правилу (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 119)). Выберем разбиение 0 = /0 < Zi < /2 < ¦ ¦ • < fn_i < In = — 1 заданной кусочно-гладкой кривой у ? так, чтобы кривая у I (/г, іі+1) была гладкой для каждого і = 0, 1, 2, ..., п — 1. Тогда
П—1 tI+!
L(Y) = Lg(Y) = S 1 Vs(Y V), V'V)) dt. (3.1)
«= о t=tt
Как и в элементарной дифференциальной геометрии, можно проверить (см. О'Нейл (1966, с. 51—52)), что это определение лоренцевой длины дуги не зависит от выбора параметризации кривой Y- 3.1. Основные понятия и определения
81
Рис. 3.1. Времениподобная кривая 7, идущая из р в q, аппроксимируется последовательностью кривых Yrt; при этом уп 7 в C0-Tono-логии, но L (y„) 0.
В силу того что произвольная непространственноподобная кривая локально удовлетворяет условию Липшица, она дифференцируема почти всюду. Следовательно, лоренцеву длину дуги L (у) такой кривой 7 можно по-прежнему определить, используя формулу (3.1). Другие, но эквивалентные определения L (у) для произвольных неизотропных непространственноподобных кривых можно получить или путем аппроксимации 7 ^-гладкими вре-мениподобными кривыми (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 237)), или путем аппроксимации 7 последовательностями ломаных непространственноподобных геодезических (см. Пенроуз (1972, с. 53)). Лоренцеву длину дуги произвольной изотропной кривой положим равной нулю.
Зафиксируем точки р, q ? М, связанные отношением р q. Если 7 — времениподобная кривая, идущая из р в q, то L (у) > 0. С другой стороны,7 можно аппроксимировать последовательностью кусочно-гладких «почти изотропных» кривых Y„: [0, 1 ] ->- М, подчиненных условию 7П (0) = р, уп (1) = q и таких, что уп ->- 7 в С°-топологии, в то время как L (7П) 0 (рис. 3.1). Эта конструкция показывает, кроме того, что для любых р, q ? М, связанных отношением р -С q, существуют кривые 7 ? &p,q произвольно малой лоренцевой длины. Следовательно, точная нижняя грань лоренцевых длин всех кусочно-гладких кривых, соединяющих две хронологически связанные точки р и q, всегда равна нулю. С другой стороны, если р и q лежат в геодезически выпуклой окрестности U, то направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент, лежащий в U и соединяющий точки р и q, имеет наибольшую лоренцеву длину среди всех непространственноподобных кривых, лежащих в U и соединяющих точки р м q.
