Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
д
д
VvY' 11 = Vdrot ш f + VlC 11 + (ф) С (О
/ і и і dt
--Lg (С (О, С (0) grad ф = VW \t - h -LLL С (t) + ILLy А-
Приравнивая выражения, содержащие d/dt, приходим к формуле
*<0 (2-5)
Поэтому VrY' I< = (1/2) [In / (t)]Y (і) = Hn S (*)]'?'(t). Если определить отображение р: (b, Ь) —>¦ R при помощи соотношения
р (O = Jl0 S (S) ds,
то из того, что р' (t) = S (t) > 0, можно заключить, что существует обратное, р-1. Более того, из классической теории преобразований проектирования известно, что Yi (t) =Y0 P-1 (t) = = (P'1 i.t), с о р-1 (t)) 'является изотропной геодезической (см. Спивак (1970, с. 6—35 и далее)). Пусть
А = Iim р (t), В = Wm р (t).
Ввиду того что функция р монотонно возрастает, отображение р: (a, b) —(А, В) взаимно однозначно. Отсюда вытекает, что р'1: (А, В) ->- (а, Ь), и поэтому Yi =Y ° P'1 (А, В)-+М. Таким образом, если А конечно, то Yi неполна в прошлом, а если В конечно, то Yi неполна в будущем, что и требовалось доказать. ?
Из теоремы 2.57 немедленно следует, что если а и b конечны и искривляющая функция /: (а, Ь) (0, оо) ограничена, то (М, g) является изотропно геодезически неполным как в прошлом, так и в будущем. Таким образом, предполагая, что а и b конечны, можно легко строить однопараметрические семейства пространств (М, g (s)) = (М, —df @ / (s) h), избтропно геодезически неполных в прошлом и в будущем. Выбирая однопараметрическое семейство функций f (s): (а, Ь) ->¦ (0, оо) подходящим образом, 74
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
можно добиться того, что кривая s ->- g (s) = —dt2 ф / (s) h в пространстве Lor (M) не будет непрерывной кривой в тонкой С-топологии. Таким образом, пространства (М, g (O)) и (М, g (s)) могут оказаться весьма далекими в Lor (/Й) при s Ф 0.
Заметим, что если риманово многообразие (Я, h) геодезически неполно, то M -- (a, b) XfH может быть изотропно геодезически неполным даже в том случае, когда оба интеграла из теоремы 2.57 расходятся. С другой стороны, если предполагать полноту (Я, h), то из доказательства теоремы 2.57 можно получить следующее необходимое и достаточное условие изотропной геодезической неполноты M -: (a, b) XfH.
Замечание 2.58. Пусть M — (a, b) XfH — лоренцево искривленное произведение с лоренцевой метрикой g ^ —df ф /h, где (Я, h) — полное риманово многообразие и —оо с а < b с оо. Положим, как и выше, S (t) ^= \ f (t). Тогда (М, g) является изотропно геодезически неполным в прошлом (соответственно в буду-
B теории сингулярностей общей теории относительности на тензор кривизны (М, g) накладываются некоторые условия. Эти условия — типовое условие и сильное энергетическое условие — будут рассматриваться в разд. 11.2. Выполнение этих условий гарантирует, что если непространственноподобную геодезическую у можно продолжить на все положительные и отрицательные значения аффинного параметра и dim M^ 3, то у обязательно содержит пару сопряженных точек. Поэтому для того, чтобы показать непространственноподобную геодезическую неполноту (М, g), эти условия на кривизну можно объединять с такими геометрическими или физическими допущениями, как, например, причинная разделяемость (М, g) или то, что (М, g) содержит замкнутое ловушечное множество (см. разд. 11.4). Вследствие того что (М, g) удовлетворяет типовому условию и сильному энергетическому условию, если непространственноподобная кривизна Риччи всюду положительна, представляется интересным рассмотрение условий на искривляющую функцию / лоренцева искривленного произведения, которые обеспечивали бы положительность непространственноподобной кривизны Риччи всюду в (М, g). Допущение dim M ^ 3, принимаемое в теории сингулярностей, необходимо (вследствие того что никакая изотропная геодезическая произвольного двумерного лоренцева многообразия не со-
щем) в том и только том случае, когда ственно Iim [^o S (s) ds) конечен.
(соответ- 2.6. Искривленные произведения
75
держит сопряженных точек) для существования изотропно сопряженных точек.
Сейчас мы приведем формулы для вычисления тензора кривизны R и тензора кривизны Риччи Ric лоренцева искривленного произведения (М X fH, g), где g = g ф /h. Как и выше, обозначим через у1 (соответственно у2) ковариантное дифференцирование на (М, g) (соответственно на (Я, h)). Положим ф =-- In / и напомним, что через grad q> обозначается градиент функции q^ на (,И, g). Касательные векторы х Є Tp (М X Я), как и выше, будем представлять в виде х (л'і, X1). Пусть R1 (соответственно Ri) —тензор кривизны (М, g) (соответственно (Я, h)). Для заданных векторов Л'і, //1 (І TpM тензоры Гессе Яф и Iiv определяются соответственно по правилам
Hv (X1) = Vi1 grad ф (2.6)
и
Лф (Хи Ух) = g (vi, grad T- У\)- (2-7)
Вместо g (grad ф, grad ф) будем писать также || grad ф f. Используя соглашение о знаке тензора кривизны
R (X. Y) Z — VxVy^ - VrV л-Z- V[v.v]Z и заменяя V по формуле (2.4), получим следующее соотношение: R (х, у) z = (X1, Уі) Z1 4- Ri (х,, уа) Z2
-T -J- Vh (X1, Z1) у2 - Illf (уи Z1) X2 I g (.V2, IJ2) Hv (IJi) -
