Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 2.25. Пусть (М, g) — произвольное двумерное лоренцево многообразие. Тогда универсальное накрывающее лоренцево
многообразие (М, g) многообразия (Al, g) гомеоморфно R2.
Доказательство. Вследствие того что M односвязно и двумерно, оно гомеоморфно либо R2, либо Si. Однако ввиду того, что эйлерова характеристика сферы Si отлична от нуля, Si не допускает непрерывных векторных полей, всюду отличных от нуля. ?
Напомним, что интегральная кривая гладкого векторного поля X на M — это такая гладкая кривая 7, что 7' (t) = X (7 (/)) для всех t из области задания 7 (см. Кобаяси и Номидзу (1981, с. 21)). Следующий результат хорошо известен (см. Хартман .J (1970, с. 184)).
Предложение 2.26. Пусть X—гладкое нигде нсвырождающееJ векторное полена R2 и у: (а, Ь) -»- R2 —максимальная интегральная кривая поля X. Тогда у (t) выходит из любого компактного подмножества плоскости R2, когда t (или t->-b~).
Рассмотрим лоренцево многообразие (/И, g), гомеоморфное R2. Пусть X1, X2 — изотропные векторные поля на М, существование которых доказано в предложении 2.24. Ясно, что каждую изотропную геодезическую на (М, g) можно перепараметризовать так, чтобы в результате она стала интегральной кривой поля X1 или X2. Поэтому интегральные кривые полей X1 и X2 естественно назвать изотропными предгеодезическими. Пусть у: (а, Ь) -»- M — непродолжаемая изотропная геодезическая, которая перепараметризуется в интегральную кривую поля X1. Если 7 (^1) = у (t2) для некоторых t1 и t2, ti ф- t2, то из того, что у' (tx) и у' (t2) отличаются от X1 (7 (^1)) лишь скалярным множителем, и из единственности геодезической вытекает, что 7 — гладкая замкнутая геодезическая. Однако, согласно предложению 2.26, это невозможно. Таким образом, справедливо следующее 2.4. Двумерное пространство-время
51
Следствие 2.27. Лоренцевэ многообразие (M, g), гомеоморфное R2' не содержит замкнутых изотропных геодезических. Более того каждая непродолжаемая изотропная геодезическая у: (а, Ь) -»- M является вложением и, значит, не содержит петель.
Говорят, что семейство F непродолжаемых изотропных геодезических просто покрывает многообразие М, если каждая точка р ? M лежит ровно на одной геодезической из F. Пусть (.'И, g) — лоренцево многообразие, гомеоморфное к2. Тогда интегральные кривые векторного поля X1 (соответственно X2), определенного в предложении 2.24, можно перепараметризовать в семейство Fl (соответственно Fi) геодезических на М. Каждое семейство F1 покрывает M вследствие того, что Хг- (р) Ф 0 для і -¦= 1, 2 и всех р ^ M. Более того, так как через каждую точку р M проходит ровно одна интегральная кривая поля Х?, то каждое семейство Fi покрывает M просто. Поэтому из предложения 2.24 вытекает следующее утверждение (см. Бим и Bv (1969, с. 51)).
Предложение 2.28. Пусть (М, g) — лоренцево многообразие, гомеоморфное к2. Тог^а непрсдолжаемые изотропные геодезические (М, g) можно ра 'бить на два семейства F1 и F2 так, что каждое из этих семейств покрывает M просто.
Пусть у: (а, Ь) -»- M — непродолжаемая времениподобная кривая, а с: (а, ?) -»- M — непродолжаемая изотропная геодезическая. Ясно, что в произвольных лоренцевых многообразиях у и с могут пересекаться более одного раза. Однако если M гомео-морфно к2, то у и с пересекаются самое большее в одной точке (см. Бим и By (1969, с. 52)).
Предложение 2.29. Пусть (Al, g) — лоренцево многообразие, гомеоморфноеТогда каждая времениподобная кривая пересекает заданную изотропную^, геодезическую не более одного раза.
" f >!,»<.,', І""- "
Доказательство. Пусть C0 —' непродолжаемая направленная в будущее изотропная геодезическая в М. Можно считать, что C0 принадлежит семейству F1, определяемому по изотропному векторному полю X1, как описано выше. Пусть о — направленная в будущее времениподобная кривая в М, которая пересекает с0 дважды (возможно, в одной и той же точке). Тогда можно найти такие a, b CE К (? <С Ь), что точки о (а), о (Ь) лежат на C0, а о (t) І ? C0 при a Ввиду того что ст времениподобна, задавае-
мое ею отображение локально взаимно однозначно. Следовательно, если о I [а, Ь] не является взаимно однозначным, то а содержит замкнутые времениподобные петли. Взяв одну из этих петель, можно найти а, ? ? R, подчиненные условию а а << < ? < Ь, и вторую изотропную геодезическую C1 CE Fi так, что 52
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
ст I la, ?] — взаимно однозначно, точки ст (а) и ст (?) лежат на C1 и ст (Z) І C1 при а / < ?. Ниже мы покажем, что если направленная в будущее времениподобная кривая у: [?, b ] -»- M не имеет самопересечений, то не существует кривой с ? F1, на которой лежали бы точки у (а) и у (b), ay (Z) І с для всех Z, удовлетворяющих условию а <С Ь. Если исходная времениподобная кривая ст I I?, b ] не имеет самопересечений, то, применив к ней приведенный выше факт, получим требуемое противоречие. Если же ст I la, b] имеет самопересечения, то требуемое противоречие возникает при рассмотрении C1 и ст | fa, ?|.
Поэтому предложение будет доказано, если мы покажем, что нельзя найти кривой у: [а, Ь] М, обладающей следующими свойствами: у направлена в будущее, временинодобна, не имеет самопересечений, точки у (а) и у (Ь) лежат на с0, а у (Z) ф C0 при а <С Z <Г Ь. Проходя по у от у (а) до у (Ь), а затем по части C0 от у (Ь) до у (сг), получим замкнутую жорданову кривую, ограничивающую множество W, замыкание W которого компактно (рис. 2.7). Пусть U — выпуклая нормальная окрестность с базовой точкой у (а). Выберем Z1 так, чтобы а •< I1 < b и у (Zi) (z U. Пусть C1 — изотропная геодезическая семейства F1, проходящая через у (Z1). Вследствие того что перепараметризацией кривую C1 можно превратить в интегральную кривую поля X1 и C1 входит в W через точку у (Z1), из предложения 2.26 вытекает, что C1 покидает W в некоторой точке у (Zi), t'\ > Zi. Так как со пересекает у в точке у (b), то должно выполняться неравенство Zi < Ь. В частности, lZi, Zf] с (а, Ь). Таким образом, мы нашли сегмент lZi, Zi]c(?, b), обладающий следующими свойствами: у ([Zi, Zi ]) cz с W и у пересекает изотропную геодезическую Ci ? Fi в точках у (Zi) и у (Zi) (рис. 2.7).
