Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 26

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 167 >> Следующая


Как мы увидим в гл. 11, вторая фундаментальная форма играет важную роль в теории сингулярностей общей теории относительности.

2.6. Искривленныэ произведения

Пусть (М, g) и (Н, К) — римановы многообразия. На произведении многообразий M X-H существует естественное произведение метрик go, такое, что (М X Н, g0) — вновь риманово многообразие. Бишоп и О'Нейл (1969) изучили больший класс римановых многообразий, включающий произведения, которые они назвали искривленными. Если (М, g) и (Я, h) — римановы многообразия и /: M —>- (0, оо) — некоторая гладкая функция, то 58 Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность

произведение многообразий M X Я, снабженное метрикой g @ /h, называется искривленным произведением, a /: M —>- (0, оо) называется искривляющей функцией. Следуя Бишопу и О'Нейлу, будем обозначать риманово многообразие (М X Я, g © /h) через МХ;Н. Бишоп и О'Нейл (1969, с. 23) показали, что M XjH является полным римановым многообразием тогда и только тогда, когда оба римановых многообразия (/И, g) и (Я, h) полны. При помощи этого результата им удалось, используя искривленные произведения, построить широкий класс полных римановых многообразий со всюду отрицательной секционной кривизной.

В этом разделе мы применим искривленные произведения для построения лоренцевых многообразий; затем мы изучим причинную структуру и свойства полноты построенного нами класса лоренцевых многообразий. Эта теория для лоренцевых многообразий несколько отличается от соответствующей теории для риманова случая вследствие того, что произведение двух лоренцевых многообразий (M, g) и (Я, h) имеет сигнатуру (—, —, +, ..., +) и, значит, не является лоренцевым многообразием. Тем не менее лоренцевы метрики искривленных произведений построить можно, используя для этого в качестве сомножителей лоренцево и риманово многообразия. Эту конструкцию можно применить, в частности, для построения примеров биинвариантных лоренцевых метрик для групп Ли (см. разд. 4.5). Исследование искривленных произведений псевдоримановых (не обязательно лоренцевых) многообразий, включающее вычисление их тензоров кривизны Римана и Риччи, проведено О'Нейлом (1981).

Всюду в этом разделе через я: M X Я ->М и т|: M X Я ->- Я будут обозначаться отображения проектирования, задаваемые следующими формулами: я (т, b) — т и т] (т, b) = b для (т, Ь) ? ? M X H соответственно.

Определение 2.38. Пусть (М, g) есть n-мерное многообразие (п 1) с сигнатурой (—, +, ..., +) и (Я, h) — риманово многообразие. Пусть далее /: M ->-(0, оо) — гладкая функция. Лоренцевым искривленным произведением MXjH называется многообразие, которое оснащено лоренцевой метрикой g, определяемой по следующему правилу:

g (и, w) = g (л;1м, n*w) -f / (я (р)) h (г]*у, т^ау), где рем ^ M X Н, V, w ? TpM.

Определение 2.39. Искривленное произведение M XjHcf = = 1 будем называть лоренцевым произведением и обозначать через M X Я.

Замечание 2.40. Лоренцевы многообразия можно получать также путем рассмотрения искривленных произведений вида 2.6. Искривленные произведения

59

Я XfM, где (Я, h) — риманово многообразие, (М, g) —- лоренцево многообразие и /: Я —(0, оо) — гладкая функция. Универсальное накрывающее многообразие пространства-времени де Ситтера 2-го рода (см. разд. 4.3) представляет собой важный в общей теории относительности пример пространства-времени, которое можно записать в виде искривленного произведения H X1 М, где Я — риманово, a M —лоренцево многообразия, но которое нельзя записать в виде искривленного произведения M X1 H из определения 2.38. Тем не менее в этой книге мы ограничимся рассмотрением только искривленных произведений вида M X1H.

Изучение причинных свойств искривленных произведений мы начнем со следующей леммы.

Лемма 2.41. Искривленное произведение M XfH многообразий (М, g) и (Ii, h) можно ориентировать во времени тогда и только тогда, когда либо (М, g) ориентировано во времени (если dim M 5= 2), либо (М, g) —одномерное многообразие с отрицательно определенной метрикой.

Доказательство. Предположим, что MxfH ориентировано во времени. Рассмотрим сначала случай, когда dim M ^ 2.

Вследствие того что MXfH ориентировано во времени, на MXfH существует непрерывное времениподобное векторное поле X. Так как / > О и h — положительно определенная метрика, то g (яжХ, я*Х) = g (X, X) < 0. Тем самым векторное поле я^Х задает на (М, g) ориентацию во времени.

Обратно, допустим, что dim M 2 и (/И, g) ориентировано во времени посредством времениподобного векторного поля V. Тогда V можно поднять до времениподобного векторного поля V на M X Я, удовлетворяющего двум условиям: -- V и

т)*V — 0. Именно для любого фиксированного р —- (т, b) (j е M X Я существует естественный изоморфизм

Tp (М XfH) = Tp (М X Я) ~ TmM X TbH.

Используя этот изоморфизм для отождествления Tp (М X Я) и TmM X TbH, можно определить V в р, полагая V (/?)_= (V (т), 0). Из определения 2^8 немедленно следует, что g (V, V) = g (V, V) < 0. Поэтому V ориентирует M XfH во времени, что и требовалось.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed