Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 28

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 167 >> Следующая


Tt' \т) [гомотетично HJ

Ь

Рис. 2.9. Пусть (т, Ь) — точка искривленного произведения M X f Н. Тогда ограничение отображения проектирования я на Tp1 (Ь) является изометрией на М, а ограничение отображения проектирования Т| на я-1 (т) — гомотетией на Я.

в M Xf H, идущая из р в q, то л°у является направленной в будущее времени подобной (соответственно непространственно-подобной) кривой в М, идущей из pL в q1. ?

Хотя отображение я: M Х^Я->-М и переводит непростран-ственнонодобные кривые в непространственноподобные кривые, оно не сохраняет изотропных кривых. В самом деле, из определения 2.38 вытекает, что если у — произвольная гладкая изотропная кривая, у которой r^v (t) Ф 0 для всех t, то g (я^у (t),

я*7 (0) 0 Для всех І-

Для случая, когда точки р и q расположены в одном слое т]""1 (b) произведения M X f H, лемма 2.46 может быть усилена в следующем направлении.

Лемма 2.47. Если точки р — (рх, Ь) и q = (^1, b) расположены в одном и том же слое ті""1 (b) произведения M XfH, то р q (соответственно р < q) в (М XfH, g) тогда и только тогда, когда pL <С q1 (соответственно рх < q\) в (М, g).

Доказательство. В силу леммы 2.46 остается только показать, что если P1 ^1 (соответственно рх < ^1) в (М, g), то р < Я (соответственно р < q) в (М XfH, g). Но если Y1: (0, 1 ] —>- M — направленная в будущее времениподобная (соответственно непространственноподобная) кривая в М, идущая из P1 в qx, то у (t) = (V1 (t), b), 0 < t < 1, — направленная в будущее времениподобная (соответственно непространственноподобная) кривая в M XfH, идущая из р в q. Q 2.6. Искривленные произведения

63

Из леммы 2.47 вытекает, что каждый слой if'1 (b), b ? Я, имеет те же хронологию и причинность, что и (М, g). В частности, леммы 2.46 и 2.47 позволяют сформулировать следующий результат: (М X / Я, g) обладает замкнутой времениподобной (соответственно непространственноподобной) кривой тогда и только тогда, когда (М, g) имеет замкнутую временинодобную (соответственно непространственноподобную) кривую. Отсюда вытекает

Предложение 2.48. Пусть (/И, g) — пространство-время и (Я, h) — риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведение (М X іH, g) является хронологическим (соответственно причинным) в том и только том случае, когда (A4, g) хронологично (соответственно причинно).

Аналогичный результат имеет место и для сильной причинности.

Предложение 2„49« Пусть (Я, g) — пространство-время и (Я, h) — риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведение (М X/Я, g) является сильно причиннымв том и только том случае, когда (М, g) сильно причинно.

Доказательство. Покажем сначала, что если (М, g) не является сильно причинным в точке ри то (MX1H, g) не является сильно причинным B P= (P1, Ь) для любой точки b ? П. В силу того что в точке P1 сильная причинность (М, g) нарушается, можно указать открытую окрестность U1 точки P1 в M и последовательность \yh : [0, 1 ] —>- М\ направленных в будущее непространственноподобных кривых, такие, что yk (0) —>- рх, yh (1) —>- рг при k —>- оо, но yh (1/2) ф U1 для всех k. Определим последовательность ok : [0, 1] ->- M X Я, положив oh (t) — (yh (t), b). Рассмотрим в M X, H множество U = U1X. V1, где V1 — произвольная открытая окрестность точки b в Я. Множество U представляет собой открытую окрестность точки р = (ръ Ь) в MX.jH, a ok — последовательность направленных в будущее непространственноподобных кривых в MXfH, у которых сг (0) —> р, Ok (1) —>-->-р при k —> оо, но Oh (1/2) ф H для всех k. Поэтому (М X f Я, g) не может быть сильно причинным в точке р.

Обратно, предположим, что сильная причинность нарушается B точке P =(/?!, ^i) искривленного произведения (М XfH, g). Пусть (хг, ...,Xi)—локальные координаты на M вблизи такие, что в точке рг метрика g имеет вид diag |—1, +1, -f-1}, a (xi+1, ..., хп) —локальные координаты на Я вблизи qu такие, что в точке q1 /h имеет вид diag { + 1, ..., +1}. Тогда (^1, ..., Xi, хг+і> •••> хп) — локальные координаты на M XfH вблизи точки р. Кроме того, F1 = X1 и Fi = X1 о я являются (локально опреде- 64

Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность

ленными) временными функциями для M вблизи P1 и для M X Xf H вблизи р соответственно. Нарушение сильной причинности в точке р означает, что существует последовательность направленных в будущее непространственноподобных кривых yh : [0, 1 ] ->--> M XfH, обладающих следующим свойством: yh (0)—» р и Yfc (1) P ПРИ к-+- оо, но F2 (уit (1/2)) г > 0 для некоторой параметризации yh, k любое. Выберем окрестность W точки рх в M так, чтобы в W можно было ввести локальные координаты (X1, ..., .г,), как и выше, и sup [F1 (г) : г (j W\ < є/2. Тогда л ° yh являются направленными в будущее непространственно-подобными кривыми в М, для которых выполнены следующие соотношения: л о yk (0) -+-P1, я о yk (1) -+P1 и Itofft (1/2) ? W. Возможность построения W и \л о Yft}, обладающих указанными свойствами, показывает, что сильная причинность (М, g) нарушается в точке р, как и требовалось. ?

В предложении 2.51 мы докажем эквивалентность устойчивой причинности многообразий (М XjH, g) и (AI, g) в случае, когда dim M ^= 2. Из этого и последних двух предложений вытекает, что основные причинные свойства (Af X f H, g) определяются соответствующими свойствами (М, g).
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed