Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь можно построить вторую замкнутую жорданову кривую, пройдя сначала по у от Zi до Zi, а затем по части с, от точки у (Zf) до точки у (Zi). Повторяя рассуждения предыдущего абзаца, получим сегмент [Z2, Zi'] с; (t\, Zi), такой, что времениподобная кривая у I [Z2, Z2] пересекает изотропную геодезическую C2 семейства Fі в точках у (Z2) и у (Z2), причем так, что у (Z2) содержится в выпуклой нормальной окрестности точки у (Z1). Рассуждая по индукции, мы можем построить вложенную последовательность сегментов [Z/..-li, Zi+i ] с (tk, t'k), такую, что точка у {tk\\) лежит B выпуклой нормальной окрестности точки У (Zfc) и у I Ufc-I-I, Z/;4-1 ] пересекает изотропную геодезическую Cfc-1-i Є F\ в точках у (Zfc-i-i,) и у (Zfc+|). Более того, сегменты [tk, t'k] можно выбрать так, что П ft=i \fk, h\ = IM для некоторой Z0^ (a, b). Тем самым мы построили две последовательности Zfc f Z0H t'k j Zo, обладающие следующим свойством: времениподобная кривая у пересекает изотропную геодезическую семейства F1 в точках2.4. Двумерное пространство-время
53
изотропная ж^геодези-\ческая с,
Рис. 2.7. В гомеоморфном R2 лоренцевем многообразии предполагается, что времениподобная кривая 7 пересекает изотропную геодезическую г„ в точках 7 (а) и 7 (Ь). Изотропная геодезическая C1 входит в W в точке 7 (Z1) и впервые выходит в точке у (/j), tL > tv
у (tk) и у (t'k) для каждого k 1. Однако, согласно предложению 2.24, это невозможно. Следовательно, геодезическая у: la, b I -»-пересекает C0 самое большее в одной точке. Г]
Теорема 2.30. Лоренцево многообразие (M,g), гомеоморсрное R2, устойчиво причинно.
Доказательство. Напомним, что g ? Lor (M) устойчиво причинна, если существует С°-окрестность U метрики g в Lor (M), такая, что все метрики в U причинны. Так как сильная причинность влечет причинность, то отсюда вытекает, что все метрики в Lor (M) устойчиво причинны, если они сильно причинны в Lor (M). Поэтому теорема будет доказана, если показать, что для любой лоренцевой метрики g на M многообразие (М, g) сильно причинно.
Предположим противное: лоренцева метрика g на M такова, что многообразие (М, g) не является сильно причинным. Тогда найдется точка р ? М, в которой сильная причинность нарушается. Пусть (U, х) — карта, содержащая р и такая, что изотропные геодезические в U лежат на множествах X1 = const и X2 = conbt (существование такой карты гарантируется леммой 2.23). Ввиду того что сильная причинность в точке р нарушается, существуют произвольно малые окрестности V точки р, V cz U, и времениподобные кривые, которые начинаются в р, покидают V и затем возвращаются в V. Согласно предложению 2.29, замкну-54
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
Y
изотропная геодезическая
Рис. 2.8. Показано двумерное пространство-время (.'И, у которого в точке р нарушается сильная причинность. Существует направленная в будущее времениподобная кривая у, которая начинается в точке/?, возвращаясь, проходит вблизи P и пересекает одну из изотропных геодезических, проходящих через р.
тых времениподобных кривых, проходящих через точку р, не существует. Поэтому, если у, у (0) — р, — направленная в будущее времениподобная кривая, которая покидает V и затем возвращается, то у (t) ф р для всех t >0. Вследствие того что изотропные геодезические в U, проходящие через р, задаются в локальных координатах х -= Cr1, J2) окрестности U уравнениями X1 — 0 и X2-O, можно продеформировать у так, чтобы полученная кривая при возвращении в V пересекала одну из изотропных геодезических, проходящих через р (рис. 2.8). Следовательно, у пересекает изотропную геодезическую семейства F1 или Fi дважды, что противоречит предложению 2.29. ?
Следствие 2.31. Никакая лоренцева метрика на R2 не имеет замкнутых, непространственноподобных. кривых.
Другое доказательство того, что всякое односвязное лоренцево 2-многообразие сильно причинно, можно найти у О'Нейла (1981). Что же касается случая больших размерностей, то в Rn, п 3, можно построить лоренцевы метрики, которые не являются хронологическими, а значит, и сильно причинными.
Каждое двумерное лоренцево многообразие (М, g) имеет естественно связанное с ним лоренцево многообразие (М, ¦—g). Времениподобные кривые многообразия (М, —g) являются про-странственноподобными кривыми многообразия (М, g), и наоборот. Полагая M = R2 и применяя к (М,— g) следствие 2.31, получим
Следствие 2.32. Hикакая лоренцева метрика HaR2 не содержит замкнутых пространственнопсдэбных кривых..2.5. Вторая фундаментальная форма
55
Если (М, g) двумерно и оба многообразия (М, g) и (М, —g) устойчиво причинны, то, используя технику, развитую Бимом (1976а), можно доказать существование гладкого конформного множителя Q: M ->-(0, оо), такого, что многообразие (Al, Qg) геодезически полно. Это приводит к следующему утверждению.
Следствие 2.33. Пусть (М, g)—лоренцево многообразие, гомеоморфное R2. Тогда существует гладкий конформный множитель Q: M —>- (0, оо). такой, что (M, Qg) геодезически полно.
Существуют примеры двумерных пространств, никакое глобально конформное изменение которых не превращает их в не-пространственноподобно геодезически полные (см. разд. 5.2). Поэтому следствие 2.33 нельзя распространить на все двумерные пространства при помощи накрывающего пространства.