Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь случай dim M = 1. Известно, что тогда M диффеоморфно либо S1, либо R. Если dim M = 1, то по определению 2.38 (М, g) имеет отрицательно определенную метрику. Пусть T — гладкое векторное поле на М, такое, что g (Т, Т) = = —1. Определяя T (р) = (Т (я (р)), Oi1(P)), как и выше,60
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
имеем т]ц. T = 0, так что T ориентирует M во времени. Заметим также, что в случае, когда M = S1, интегральные кривые поля T на M являются замкнутыми времениподобными кривыми. Поэтому M не хронологическое. ?
Лемма 2.42. Пусть (Я, h) — произвольное риманово многообразие, а на M — (а, Ь), где —оо а і < оо, задана отрицательно опредгленная метрика —dt2. Тогда для любой гладкой функции /: M -+(0, оо) искривленное произведение (M XfH, g) устойчиво причинно.
Доказательство. В качестве временной функции можно взять отображение проектирования я: M X Я ->- M с= R. П
Из приведенной на рис. 2.3 таблицы условий причинности получаем следующее утверждение.
Следствие 2.43. Пусть (Я, h) — произвольное риманово многообразие и M — интервал (а, Ь), где —оо с а <; b с оо, с заданной на нем отрицательно определенной метрикой —dt2. Тогда для любой гладкой функции /: M -+- (0, оо) искривленное произведение (М XfH, g) является хронологическим, причинным, различающим и сильно причинным.
В приведенном выше доказательстве леммы 2.41 мы видели, что если M = S1, то (S1 XfH, g) не может быть хронологическим, а отсюда и причинным, различающим или сильно причинным.
Составим перечень некоторых элементарных свойств искривленных произведений, непосредственно вытекающих из определения 2.38. Гомотетией F: (M1, gr) -+-(Mi, g2) называется такой диффеоморфизм, что F* (g2) = Cg1 для некоторой постоянной с. Заметим, что некоторые авторы требуют от гомотетичных отображений только гладкости, опуская взаимную однозначность.
Замечание 2.44. Пусть M XfH — лоренцево искривленное произведение. Тогда
(а) для каждой точки b ? Я ограничение я | г)-1 (Ь): г]"1 (Ь) -+--+-M является изометрией rf1 (Ь) на М.
(б) для каждой точки т ? M ограничение т] | я"1 (т): я"1 (т) -+-H является отображением гомотетии я"1 (т), при этом коэффициент гомотетии равен 1// (т).
(в) Если V (j T (М X Я), то g (я*и, я^и) < g (и, и). Поэтому отображение яф: Tp (М X Я) -+-ТЛ(Р)М переводит непространственноподобные векторы в непространственноподобные векторы, а отображение я переводит непространственноподобные кривые в M Xj H в непространственноподобные кривые в М.2.6. Искривленные произведения
61
(г) Отображение я не уменьшает длин непространственноподобных кривых вследствие ТОГО, ЧТО I g (n^V, Я*!») I I g (и, и) |, если ug T (М X Я) — непространственноподобный вектор (см. разд. 3.1, формулу (3.1), где определяется лоренцева длина дуги).
(д) Для каждой точки (т, b) f M X Я подмногообразия я-1 (т) и г]-1 (b) многообразия M XfH являются невырожденными в смысле определения 2.34.
е) Если ср: Я —>-Я — изометрия, то отображение Ф = 1 X Хф: MXfH-^MXfH, задаваемое формулой Ф (т, b) = = (т, cd (6)), также является изометрией MXfH.
(ж) Если г[і: M —>- M — изометрия М, для которой / ° г|) =/, то отображение V = Il) X 1: MXfH-^-MXfH, задаваемое формулой Y (т, b) = (г|) (т), Ь), является изометрией M Xf Я. Поэтому, если X — векторное поле Киллинга на M (т. е. Lxg = 0), подчиненное условию X (/) — 0, то естественное поднятие X на MXfH поля X, задаваемое формулой X (р) = (X (я (р)), 0:,(р)), является векторным полем Киллинга на MXf Н.
Лемма 2.45. Пусть M XfH — лоренцево искривленное произведение. Тогда для каждой точки b ? Я слой rf1 (b) вполне геодезичен.
Доказательство. Из того, что отображение л: M XfH ->-М не уменьшает длин непространственноподобных кривых, а также из того, что непространственноподобные геодезические локально максимизируют длину, вытекает, что любая непространственноподобная геодезическая слоя г]"1 (b) (в метрике, индуцированной включением Tf1 (b) с M XfH) является геодезической в объемлющем многообразии M X / Н. Поэтому вторая фундаментальная форма обращается в нуль на всех непространственноподобных векторах в T (л""1 (b)). Из того, что любой касательный вектор из T (r]""1 (Ь)) можно записать в виде линейной комбинации непространственноподобных векторов из T (ri"1 (6)), вытекает, что вторая фундаментальная форма обращается в нуль тождественно. Отсюда и из предложения 2.37 следует, что слой ті-1 (b) является вполне геодезическим. ?
Ввиду следствия 2.43 мы можем теперь ограничить наше внимание изучением основных причинных свойств ориентированных во времени лоренцевых искривленных произведений (MXfH, g), у которых dim M ^s 2.
Лемма 2.46. Пусть р = (рг, р2) и q = (qt, q2) — точки из M X f Я, связанные отношением р q (соответственно р < q) в (М Xf Я, g). Тогда рг < <7i (соответственно pL < qj в (M,Fg).
Доказательство. Если у — направленная в будущее времени-подобная (соответственно непространственноподобная) кривая62
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
т) 1 (Ь) [юомстрично М]