Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2.5. Вторая фундаментальная форма
Пусть N — гладкое подмногообразие лоренцева многообразия (/И, g) и i: N-^-M — вложение. Отождествляя t* (TflN) с TpN, можно считать TpN подпространством TpM. Обозначим через g0 — і*g симметричное тензорное поле, индуцированное на N. Наряду с TpN и t* (TpN) мы будем также отождествлять g„ в точке р и g I TpN X TpN для всех р ? N. Такое отождествление будет использоваться всюду в этом разделе.
Определение 2.34. Подмногообразие N лоренцева многообразия (Al, g) называется невырожденным, если для любых точки P^N и ненулевого вектора v ? TpN существует вектор w ? (і TpN, для KOToporog (и, w) Ф 0. Если к тому же форма g | TpNx X TpN положительно определена в каждой точке р ? N, то N называется пространственноподобным подмногообразием. Если же в каждой точке р ? N g | TpN X TpN является лоренцевой метрикой, то N называется времениподобным подмногообразием.
До конца этого раздела будем предполагать, что N — невырожденное подмногообразие. Тем самым для каждой точки р ? N подпространство TpN пространства TpM, задаваемое формулой
TpN ={v ^TpM: g(v, w) = 0 для всех w ? TpN],
однозначно определено и обладает следующим свойством: TpjV П П TpN = {0}. Следовательно, однозначно определено и ортогональное проектирование Р: TpM -+-TpN. Связность V, заданную на (М, g), можно спроектировать в связность V0 на подмногообразии N, полагая по определению Vx Y = P (VxV), где XtY — векторные поля, касательные к N. Легко убедиться 56
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
в том, что V0 — единственная связность без кручения на (N, g0), удовлетворяющая равенству
X (go(Г, Z)) = go (VxГ, Z) + go (К, V0aZ)
для всех векторных полей X, Y, Z на N. Вторая фундаментальная форма, измеряющая разницу между V и V0, может быть определена в точности так же, как и для римановых многообразий (см. Херман (1968, с. 319), Болте (1977, с. 25, 51—52)).
Определение 2.35. Пусть N — невырожденное подмногообразие (М, g). Для данного вектора п Є Tp N определим вторую фундаментальную форму Sn: TpN X TpN -»-!Re направлении п по следующему правилу. Продолжив векторы х, у ? TpN до локальных векторных полей X, Y, касательных к N, положим
Sn (х, у) = g (VxY U п) = g ( Va-K \р - Va^ U ")•
Вторая фундаментальная форма S: Tp N X TbN X T0N -»R определяется соотношением S (п, х, у) = Sn (х, у). Оператор второй фундаментальной формы Ln: TvN-^-TpN определяется равенством g (Ln (х), у) = Sn (х, у), где х, у ? TpN произвольны.
Нетрудно проверить, что определение Sn (х, у) не зависит от выбора продолжений X, Y векторов х, у ? TpN и что форма Sn: TpN X TpN -»-!R симметрична, а форма S: T1p N X TpN X X TpN -»-R трилинейна для каждой точки р ? N.
Лемма 2.36. Пусть N — невырожденное подмногообразие (М, g). Вторая фундаментальная форма S —. О на N тогда и только тогда, когда Vv^ ^ VxF для всех векторных полей X, Y, касательных к N.
Доказательство. Из определения 2.35 ясно, что если Vx^ = = VxF для всех векторных полей, касательных к N, то S = 0.
Полагая S^O, возьмем произвольную точку р ? N. Тогда для всех п G Tp N н векторных полей X, Y, касательных к N, выполняется равенство g(VxF|p— VaY \„, п) = 0. Вследствие невырожденности g| TpN X TpN форма g| TpN X TpN также невырожденна. Поэтому векторы VxY \р и VxF |р имеют одинаковые проекции на Tp N. Из разложения TpM = = TpN © T1pN вытекает, что Va Y \р = Va Y\p, как и требуется. ?
Вторую фундаментальную форму можно использовать для описания вполне геодезических невырожденных подмногообразий (М, g). Подмногообразие N лоренцева многообразия (М, g) 2.6. Искривленные произведения
57
называется геодезическим в точке р N, если всякая геодезическая у многообразия (М, g), подчиненная условиям у (0) = р и У' (О) (: TpN, содержится в некоторой окрестности точки р на N. Подмногообразие N называется вполне геодезическим, если оно является геодезическим в каждой своей точке. Следующее предложение является лоренцевым аналогом хорошо известного ри-манова результата (см. Херман (1968, с. 338), Чигер и Эбин (1975, с. 23)).
Предложение 2.37. Пусть N — невырожденное подмногообразие (М, g). Тогда N вполне геодезично в том и только том случае, когда вторая фундаментальная форма S обращается в нуль всюду на N.
Доказательство. Предположим сначала, что S = O на N. По лемме 2.36 Vx Y = Vx Y для любых векторных полей X, Y, касательных к N. Пусть с: (—є, є) -+-M— геодезическая на (М, g), причем с' (0) ^ V (j TpN для некоторой точки р ? N. Рассмотрим на (N, g„) геодезическую у: (—o, o) -+N, у' (0) = v. Вследствие равенства Vv' у — Vy'у' = 0 кривая у будет геодезической и на (М, g). Положим 1] = min (є, 6). Из того что геодезическая на (М, g) с данным начальным направлением v единственна, вытекает справедливость равенства с (і) = у (t) для любого t ? (—"П. rD- Следовательно, с | (—rj, г|) с N, как и требовалось.
Обратно, предположим, что N — вполне геодезическое подмногообразие (М, g). Пусть р ? N — произвольная точка, п ? ? TpN и X (j TpN. Пусть далее с: J -+N — геодезическая (и в М, и в N), у которой с' (0) = х. Продолжим с' (t) до векторного поля X, касательного к N вблизи точки р. Тогда форма S (л, х, х) -= g (VxX Iр, п) = g (Vcc' (0), п) = g (0, п) 0. Полярная ей билинейная форма S (п, х, у) -= 0 для всех х, у ? ? TpN. Тем самым S — 0 на N. [J
