Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
71
чески неполным, если некоторую направленную в будущее изотропную (соответственно времениподобную) геодезическую нельзя продолжить так, чтобы она была определена для произвольных положительных и отрицательных значений аффинного параметра (см. определения 5.2 и 5.3). Ввиду того что на (а, Ь) мы пользуемся метрикой —dt2, кривая с (t) = (t, у0), где у0 ? H фиксирована, является времениподобной нормальной геодезической в (М, g) вне зависимости от того, какая искривляющая функция выбрана. Следовательно, если а >—оо или b < оо, то (М, g) времениподобно геодезически неполно для всевозможных искривляющих функций /. Более того, если оба числа а и b конечны, а у — произвольная времениподобная геодезическая на M = (a, b) X f Н, то L (у) < b — а < оо. Таким образом, если а и b конечны, то все времениподобные геодезические неполны и в прошлом, и в будущем. Тем не менее если выбрать искривляющую функцию / подходящим образом, то (М, g) может оказаться изотропно геодезически полным даже в том случае, когда конечны а и Ь. Это будет ясно из доказательства приводимой ниже теоремы 2.57.
Для лоренцева искривленного произведения M=-^RxfH с метрикой g ¦= —dt2 © /h любая времениподобная геодезическая вида с (t) — (t, г/0) является времениподобно полной и в прошлом, и в будущем. С другой стороны, можно построить лоренцевы искривленные произведения M — R X f Н, у которых все непространственноподобные геодезические, кроме имеющих вид t-v —v (t, г/0), неполны в будущем. Один такой пример можно получить путем следующих рассуждений. Буземан и Бим (1966) изучали пространство-время M — {(л-, у) ? R2: у > 0} с лоренцевой метрикой ds2 = у~2 (dx2 — dy2) и заметили (с. 245 их работы), что все времениподобные геодезические этого пространства-времени, за исключением геодезических вида t-+~(t,y0), являются неполными в будущем. Полагая t = In у, преобразуем это пространство-время в лоренцево искривленное произведение RXyRc метрикой g = —dt2 ф fdt2, где / (t) = e~2t. Вследствие того что отображение F: (М, ds2) ->- (R Xf R, g), задаваемое формулой F (х, у) ¦ -= (х, In у), является глобальной изометрией, все времениподобные геодезические (R Xf R, g), кроме тех, что имеют ВИД і -V -V (t, г/о), неполны в будущем. Из приводимой ниже теоремы 2.57 вытекает, что все изотропные геодезические также неполны в будущем. Рассуждая подобным же образом, можно получить еще один пример. Пусть (R", h) — пространство R'1 с обычной евклидовой метрикой h = dx\ + • • • + dxl. Тогда лоренцево искривленное произведение (RxyR", g) с g = —dt2 ® /h и / (t) = e~2t представляет собой пространство-время, все непространственно- 72
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
подобные геодезические которого, за исключением геодезических вида t (t, Уо), неполны в будущем.
Чтобы изучать геодезическую полноту лоренцевых искривленных произведений, необходимо определить связность Леви—Чи-вита для их метрик. Рассмотрим для этого общее искривленное произведение (М XfH, g © /h), где /: M -> (0, оо), (Н, h)— риманово многообразие, a (M, g) наделено метрикой с сигнатурой (—, +,...,+). Обозначим через V1 связность Леви—Чивита для (,И, g), а через V2 связность Леви—Чивита для (Я, h). Векторные поля X1, Y1 и X2, Y2, заданные на M и Я соответственно, можно поднять до векторных полей X = (X1, 0) -}- (0, X2) = - (X1, X2) и Y — (Y1, 0) + (0, Y2) = (Y1, Y2) на M X Я. Напомним, что связность V для (М Xf Н, g © /h) и метрика g = = g ф /h соотносятся так, что справедлива формула
2g(V*r, Z) = Xg (Y, Z) + Yg (X, Z) - Zg (X, Y) +
+ g([X, Y], Z)-l([X, Z], Г)-І([Г, Z], X)
(см. Чигер и Эбин (1975, с. 2)). Используя эту формулу и полагая Ф = In /, получаем для V следующее соотношение:
VxY = WxlYi + V2X1K2 +
+ + n)gradT], (2.4)
где X и Y определены выше. Здесь grad ф обозначает градиент функции ф на (М, g), вектор Vx1Ki |р Є TpM отождествлен с вектором (Viv1Ki |р, O17) G Tip, q) (М X Н) и т. п.
Теперь можно сформулировать следующий критерий изотропной геодезической неполноты лоренцевых искривленных произведений M = (a, b) Xf H (см. Бим, Эрлих и Пауэлл (1980)). Всюду до конца этого раздела через оз0 будет обозначаться точка (а, Ь).
Теорема 2.57. Пусть M = (a, b) XfH — лоренцево искривленное произведение с лоренцевой метрикой g = —dt2 © /h, где — оо< й < Ь < оо, (Я, h) — произвольное риманово многообразие и f: (а, Ь) ->- (0, оо). Положим S (t) =YJJt). Тогда, если
Iim f?° S (s) ds (соответственно Iim f' S (s) ds\ конечен, то
t ->-а+ \ t^b-Ja" /
каждая направленная в будущее изотропная геодезическая в (M, g) является неполной в прошлом (соответственно в будущем).
Доказательство. Пусть — произвольная направленная в будущее изотропная геодезическая в (М, g). Можно перепараметри- 2.6. Искривленные произведения
73
зовать Y0 к виду y (t) = (t, с (t)), где Y — гладкая изотропная предгеодезическая. Соответственно этому существует гладкая функция g (t), такая, что
VviY' |< = ff (0 у' (0 = ff (0 "Jf + ff (0 с' (О
(см. Хокинг и Эллис (1977, с. 44)). С другой стороны, вследствие того что y' (t) = д/dt |t + с' (t) и g (у', у') = — 1 + g (с', с') = О, из формулы (2.4) получаем, что
