Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3.4. Если d (р, q) < оо и рп -> р, qn q, то d (р, q) с Um d (рп, qn). Если же d (р, q) = оо и рп ->- р, qn ->- q, то lim d (рп, qn) = оо.
/г-*- оо
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда d (р, q) < оо. Если d (р, q) = 0, то утверждение леммы не вызывает сомнений. Пусть d (р, q) > 0. Тогда q ? I+ (р) и полунепрерывность снизу вытекает из того, что для любого є > 0 можно найти времениподобную кривую Y длины d (р, q) — є/2, идущую из р в q, и достаточно малые окрестности U1 точки р и U2 точки q так, что Y можно продеформировать во времениподобную кривую, связывающую произвольную точку г из U1C произвольной точкой s из U2 и имеющую длину, не меньшую d (р, q) — є.
Предположим теперь, что d (р, q) = оо, но lim d (рп, qn) = = R < оо. Вследствие того что d (р, q) = оо, найдется времениподобная кривая Y из р в q длины L (у) > R + 2. Это означает, что существуют окрестности U1 и U2 точек р и q соответственно, такие, что кривую Y можно продеформировать во времениподобную кривую длины, не меньшей R + 1, идущую из произвольной точки г окрестности U1 в произвольную точку s из U2. Это противоречит тому, что Iim d (рп, qn) — R. ? 3.1. Основные понятия и определения
85
P Р„+1 Pn
Рис. 3.3. Показано rip остр а пет во-врем я (Л1, eis2), где M — множество {(х, у) ? ? К2: 0 < у <С 2} \ {(X, 1): — 1 < лг < 1}, в котором точки (х, 0) и (х, 2) отождествляются, и ds2 = dx2 — dy2 — плоская лоренцева метрика. Пусть р = = (0, 0), q — (0, 1/2) и ра-+ р, как показано. Тогда рп ? I+ (рп) и, значит, d (Рп< Рп) " Для всех п. Для больших п q g /+ (рп), и поэтому d (рп, q) = оо. С другой стороны, из </) — 1/2 получаем, что d(p, q) < lim d (pn, ?). Это пространство-время не является причинным. Однако функция расстояния может не быть полунепрерывной сверху и в причинных пространствах (см. рис. 3.6).
Полунепрерывной сверху лоренцева функция расстояния, вообще говоря, может не быть. Мы приведем пример пространства-времени (М, g), содержащего бесконечную последовательность точек рп-+- р и точку q ? /+ (р), такие, что d (рп, q) — оо для всех больших п, но d (р, q) < оо (рис. 3.3).
С другой стороны, для глобально гиперболических пространств лоренцева функция расстояния так же, как и риманова функция расстояния, конечна и непрерывна.
Лемма 3.5. Если (M, g) — глобально гиперболическое пространство-время, то лоренцева функция расстояния конечна и непрерывна на M X М.
Доказательство. Чтобы доказать конечность d, покроем компактное множество J (р) П J (q) конечным числом выпуклых нормальных окрестностей B1, B2, ..., Bm так, что никакая непространственноподобная кривая, покидающая произвольную окрестность Biy никогда в нее не возвращается и каждая непространственноподобная кривая в любой B1 имеет длину не больше единицы. Вследствие того что произвольная непространственноподобная кривая у из р в q может входить в каждую окрестность Bi не более одного раза, ее длина L (у) < т. Тем самым d (р, q) < т и d конечна.
Если d не является полунепрерывной сверху в (р, q) ? M х X М, то можно указать 8 > 0 и последовательности \рп\ и {qn\, сходящиеся Kpnq соответственно и такие, что d (рп, qn) ^ ^ d (р, q) -f 26 для всех п. По определению d (рп, qn) тогда существует (для каждого п) направленная в будущее непространствен- 86
Г л. 3. Лоренцево расстояние
ноподобная кривая уп из рп в q, длина которой L (у„) ^ d (р, q) 4 + 6. Согласно следствию 2.19, последовательность имеет
непространственноподобную предельную кривую у, идущую из р в q, а по предложению 2.21 некоторая подпоследовательность {vm} последовательности jy11I сходится kyb С°-топологии. Отсюда L (y) 5s d (р, q) + б в соответствии с замечанием 2.22. Но это противоречит определению лоренцева расстояния. Поэтому функния d полунепрерывна сверху в точке (р, q). ?
Определим теперь следующее понятие (см. Бпм и Эрлих (1977, условие 4)).
Определение 3.6. Будем говорить, что пространство-время (/И, g) удовлетворяет условию конечности расстояния, если d (g) (Р. Ч) < 00 Для всех р, q ? М.
Тогда из леммы 3.5 вытекает
Следствие 3.7. Если [М, g) глобально гиперболично, то оно удовлетворяет условию конечности расстояния и функция d (g): M >; M R непрерывна.
Если (М, g) глобально гиперболично, то и все метрики из конформного класса С (М, g) являются глобально гиперболичными. Отсюда следует, что все метрики из С (М, g) удовлетворяют условию конечности расстояния. Обращение этого утверждения мы разберем в разд. 3.3 (теорема 3.30).
Поскольку исходная топология гладкого многообразия совпадает с метрической топологией, индуцированной произвольной римановой метрикой, то для лоренцева многообразия представляется естественным рассмотрение множеств вида \т ? I+ (р): d (р,т) < < в> . Однако, как показывает пример пространства Мнпковского, эти множества не образуют базиса исходной топологии многообразия (рис. 3.4). Фактически тот же самый пример показывает, что вне зависимости от малости є > 0 множества \т ? J+ (р): d (р, т) с є} могут не быть ни компактными, ни геодезически выпуклыми, так же как они могут не быть диффеоморфными замкнутому п-диску.
