Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 36

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 167 >> Следующая


V 82

Г л. 3. Лоренцево расстояние

Рис. 3.2. Показано пространство-время Райссыера— Нордстрема er = т2. Выбирая времениподобные кривые у, идущие из р в q близко к и мы можем сделать L (Y) произвольно большим. Поэтому d, (р, q) =

~ оо.

Поэтому естественно дать следующее определение лоренцевой функции расстояния d = d (g): M х [| joo) в про-странстве-времени (М, g).

Определение 3.1. Для данной точки р ? M полагаем d (p,q) — =- 0, если q ф J+ (р). Если же q ? J+ (р), то d (р, q) — = sup \Lh (у): у е Qlhq].

Из определения немедленно следует, что

d(p, q) >-0oq ? Г (р). (3.2)

Таким образом, лоренцева функция расстояния определяет хронологическое прошлое и хронологическое будущее каждой точки. Вместе с тем лоренцева функция расстояния, вообще говоря, не определяет причинного прошлого и причинного будущего множеств точки р вследствие того, что из равенства d (р, q) — 0 не вытекает включения q ? J+ (р) — /+ (р). Тем не менее, если q Cz ? J+ (p)\I* (P), то d(p, q) - 0.

Подчеркнем, что лоренцево расстояние d (р, q) не обязательно должно быть конечным. Одной из возможностей того, что d (р, q) —¦ — оо, может быть следующая: времениподобные кривые из р в q при подходе к некоторым граничным точкам пространства-времени могут достигать произвольно больших длин. На рис. 3.2 показаны две точки в пространстве-времени Райсснера—Нордстрема се2 = /я2, расстояние между которыми бесконечно: d (р, q) = оо (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 179)).

Второй возможностью того, что лоренцево расстояние может оказаться бесконечным, являются нарушения причинности. Напомним, что пространство-время называется полностью искаженным, если I+ (р) П (р) = M Для всех р ? М.

Лемма 3.2. Пусть (М, q) — произвольное пространство-время. 3.1. Основные понятия и определения

83

(а) Если р ? I+ (р), то d (р, р) — оо. Поэтому для любой точки р^М либо d (р, р) = 0, либо d (р, р) = оо.

(б) [М, g) является полностью искаженным в том и только том случае, когда d (р, q) = оо для всех р, q ? М.

Доказательство, (а) Пусть р ^ /+ (р). Тогда можно найти замкнутую времениподобную кривую у: [0, 1 ] -»- М, у которой Y (0) =- у (1) р. Вследствие того что у времениподобна, L (у) > > 0. Если ап ? Qlhp — времениподобная кривая, получаемая путем п-кратного обхода у, то L (ап) -- nL (у) ->- оо при п оо. Поэтому d (р, р) оо.

(б) Пусть (М, g) полностью искажено. Зафиксируем в M точки р и с/. Пусть п > О — произвольное целое число. По доказанному в (а) из включения р ? /+ (р) вытекает существование кривой Y1 ?- Qb ,,, длина которой L (Y1) ^ п. Так как q ? /+ (р), то найдется времениподобная кривая Y2, идущая из р в q. Тогда у --- у, * Yo Є і — времениподобная кривая, длина которой L (y) L (у,) + L (Y2) > п. Следовательно, d (р, q) --

= OO.

Обратно, предположим, что d (р, q) - оо для всех р, q ? Л'І. Фиксируя г ? М, получаем, что d (г, р) > О и d (р, г) > О для всех р ? M. Поэтому из формулы (3.2) вытекает, что /+ (г) П

n I- (г) - м. ?

Согласно определению 3.1, если I+ (р) Ф М, то существуют точки q Є М, отличные от р, р Ф q, и такие, что d (р, q) -- 0. Тем самым в отличие от римановой функции расстояния лоренцева функция расстояния обычно не может быть невырожденной. Мы видели даже, что возможно и такое неравенство d (р, р) > 0. Но если (М, g) — хронологическое, то d (р, р) — О для всех р ? ? М. Кроме того, лоренцева функция расстояния имеет известную склонность к несимметричности. Более точно, для произвольных пространств можно показать справедливость следующего утверждения.

Замечание 3.3. Если р Ф q и оба расстояния d (р, q) и d (q, р) конечны, то либо d (р, q) — 0, либо d (q, р) — 0. Или, что равносильно, если d (р, q) > О и d (q, р) > 0, то d (р, q) -= d (q, р) —

— OO .

Доказательство. Если и d (р, q) >0, и d (q, р) > 0, то можно указать направленные в будущее времениподобные кривые Yi из р в q и Y2 из <7 в P соответственно. Положим Yn Yi * * (Y2 * Yi)'1 6 Qj>,<2- Так как L (уп) ->- оо при я->- оо, то d (р, q) = оо. Аналогично доказывается, что d (q, р) — оо. ?

Менее очевидным следствием определения 3.1 является такой факт: если у: [0, оо) ->- (М, g) — любая направленная в будущее 84

Г л. 3. Лоренцево расстояние

полная в будущем времениподобная геодезическая в произвольном пространстве-времени (М, g), то

Iitnd (y(O), Y(O)S== Iitn L (у I [0, *]) = <».

/-»-оо t-*-CO

С другой стороны, полное риманово многообразие (N, g0) может содержать (незамкнутые) геодезические а: [0, оо) ->- (Л/, g0), для которых sup {d0 (о (0), а (/)): t ^ 0} конечна. Для того чтобы гарантировать для всех геодезических а: [0, оо) -> (N, g0) в римановых многообразиях предельное соотношение lim d (а (0), а (/)) = оо,

t —оо

необходимы дальнейшие допущения (см. Чигер и Эбин (1975, с. 53 и 151)).

Хотя лоренцева функция расстояния не может быть симметричной и невырожденной, выполняется по крайней мере обратное неравенство треугольника (см. рис. 1.3). Именно

если р с г < q, то d (р, q) ^ d (р, г) -j- d (г, q). (3.3)

Рассмотрим теперь некоторые свойства лоренцева расстояния, которые делают его полезным инструментом в общей теории относительности и в лоренцевой геометрии. Прежде всего лоренцева функция расстояния полунепрерывна снизу там, где она конечна (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 237)).
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed