Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(n-l)s
B2
п \ '
где мы использовали тот факт, что tg (со) tr (ст) - tr (сост) ------- 0.
Привлекая ортонормированный базис E1, .... En вдоль с, в котором En = с', найдем
tr (R) = Z g(R (Ei, с') с, Ei) = і—і
Sl—1
= I1SiE,, Ei)g(R(Ei, с') с', Ei) = Ric (с, с').
і=і
Это приводит к уравнению Райчаудхури для якобиевых тензоров вдоль времениподобных геодезических:
0' = -Ric (с', с') - tr (со3) - tr (ст2) - -^r .
Определение 11.2 означает, что тензор сдвига ст для произвольного якобиева тензорного поля Л является самосопряженным. Таким образом, если E1, ..., En — ортонормированный базис в с (t), у которого En = с' (t), го ст можно представить относительно E1, ..., при помощи симметричной матрицы [сті;]. Следовательно,
tr(cr2) = tr CTifeCTyj ) =
= U OikOki =HH ojk Ss о. і, к і k
Тем самым tr (ст2) =ob том и только том случае, если ст = 0.
Если А является лагранжевым тензорным полем, то тензор В = А'А'1 обладает следующим свойством.
Лемма 11.3. Если А —лагранжево тензорное поле, то В = = Л'Л-1 является самосопряженным.
Доказательство. Из равенства А*А' = А'*А вытекает, что
В = А'А'1 = (Л*)"1 (Л*)' = В*. ? Лемма И.З имеет простое следствие, //./. Якобиевы тензоры
313
Следствие 11.4. Если А —лагранжево тензорное поле, то вращение со = (1/2) (В — В*) равно нулю вдоль с.
Таким образом, мы пришли к свободному от вращения уравнению Райчаудхури для лаграижевых тензорных полей вдоль времениподобных геодезических:
0' = -Ric [с', с') - tr (ст2) - -J^rr. (11.2)
Рассмотрим теперь уравнение Райчаудхури для изотропной геодезической ?: [а, Ь \ Как отмечалось в разд. 9.3, исполь-
зование фактор расслоен и я G (?) = N (?)/[?'l вдоль ? предпочтительней использования N (?). Напомним, что гладкое (1, 1)-тен-зорное поле A: G (?) ->G (?) называется якобиевым тензорным
полем вдоль изотропной геодезической ?, если
А" + RA = 0 и ker (А (0) n ker (A' (t)) = |[?' (Oil
для всех t Q [a, b] (см. определение 9.61). В изотропном случае мы будем действовать во многом так же, как и во времениподобном, не забывая, впрочем, о том, что мы работаем здесь по модулю ?' в G (?) и что dim G (? (і)) = п — 2. Тензорное поле Л*, сопряженное Л, определяется по формуле
g (Aw, v) = g (A*v, w),
где g — положительно определенная метрика на G (?), задаваемая по формуле (9.31) разд. 9.3.
Определение 11.5. Пусть Л — якобиев тензор вдоль изотропной геодезической ? и B= Л'Л-1 в тех точках, где определен Л-1.
(а) Расхождение 0 определяется по правилу
0 = tr (В) = (det A)~l (det A)'.
(б) Тензор вращения <в определяется по правилу
м = 4 Ф-В*)-
(в) Тензор сдвига д определяется по правилу
Используя те же соображения, что и во времениподобном случае, можно получить, что
В'=—R-BB (11.3) JlO
Гл. 11. Сингулярности
И
0' = -tr (R) - tr (&) - tr (ст2) - -JL-.
След tr (R) можно вычислить следующим образом. Пусть F (?) — геометрическая реализация для G (P), построенная, как и в правиле (9.28) разд. 9.3, и [Y1, У„_2} — ортонормиро-ванный базис для V (P) в каждой точке ?. Продолжим IF1, ..., F71 _2} до ортонормированного базиса [Y1, ..., Yn} вдоль р, где Yn является времениподобным и P' = (F7wl + Yn)/y 2. Тогда, используя основные свойства тензора кривизны, получим, что
g (R (Fn-i. ?')P', F7lj) -g (R(Yn, P') P', F71) =
= ^-SiR (Yn-^Yn) Yn, Yn^)~Jg[RYn, F„_i) F„_b Yn) = 0. Следовательно,
tr (S)=S !(/?№), ?')?'> n(^i)) =
i=i
i=i i=i = Ric (?',p').
Эго дает уравнение Райчаудхури для якобиевых тензоров вдоль изотропных геодезических:
ё' =-Ricfly, P') — tr (o2) — tr (ст2) — -JL^ ¦ (11.4)
Те же соображения, что и при доказательстве леммы 11.3, позволяют упростить приведенное выше уравнение для случая, когда А является лагранжевым тензорным полем (т. е. когда А* А' = (A')*A).
Лемма 11.6. Если А —лагранжево тензорное поле, то тензор вращения ю вдоль р равен нулю.
Таким образом, мы получаем свободное от вращения уравнение Райчаудхури для лагранжевых тензорных полей вдоль изотропных геодезических:
6 =-Ric(P', P')-tr(CtS)--J^t. (11.5) 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия
315
11.2. Типовое и сильное энергетическое условия
В этом разделе мы покажем, что если размерность пространства-времени (М, g) не меньше 3, то при выполнении типового и сильного энергетического условий каждая полная непространственноподобная геодезическая содержит пару сопряженных точек (см. Хокинг и Пенроуз (1970, с. 539)). Времениподобный и изотропный случаи разбираются отдельно. Изложение материала, сходное с представленным в этом разделе, можно найти у Бёлтса (1977), Хокинга и Эллиса (1977, с. 110—116) и Эшенбурга и О'Салливэна (1976).
Прежде всего сформулируем определения типового условия и сильного энергетического условия.
Определение 11.7. Времениподобная геодезическая с: (а, Ь) -> -V (М, g) называется удовлетворяющей типовому условию, если существует некоторое t0 ? (а, Ь), для которого эндоморфизм кривизны
R (•, с' (I0)) с' (t0): Vі- (с (Z0)) ->¦ V-L (с (Z0))
