Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 138

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 167 >> Следующая


det A (t) = 0 для некоторого Z из интервала ветственно некоторого t из интервала (Z1- 11,3. Фокальные точки

325

Предложение 11.17. Пусть ?: R -»• (М, g) —полная изотропная геодезическая с условием Rie (?' (Z), ?'(Z)) S= 0 для всех Z ? R. Если dim M S= 3 и для некоторого Z1 R отображение R (•, P' (0) ?' ф'- G (? (Z)) -у G (? (Z)) ненулевое, то ? обладает парой сопряженных точек.

Объединяя этот результат со следствием 11.15, получаем следующую теорему.

Теорема 11.18. Пусть (M, g) —пространство-время размерности S= 3, удовлетворяющее сильному энергетическому и типовому условиям. Тогда каждая непространственноподобная геодезическая в (M, g) либо неполна, либо имеет пару сопряженных точек. Таким образом, всякая непространственноподобная геодезическая в (М, g) без сопряженных точек является неполной.

Материал, представленный в этом разделе, можно также рассматривать в рамках теории сопряженных точек и теории осцилляции для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. Типлер (1977 г), Киконе и Эрлих (1980)). При таком подходе уравнение Райчаудхури преобразуется заменой переменных к дифференциальному уравнению

х" (Z) + F (Z) X (Z) = 0,

где

F (Z) = J-[Ric (/(Z), y'(t)) \-2a*(t)]

и

(п — 1, если у времениподобна, т = 0

{п —2, если у изотропна.

11.3. Фокальные точки

Понятие сопряженной точки вдоль геодезической можно обобщить до понятия фокальной точки подмногообразия. Пусть H — невырожденное подмногообразие пространства-времени (М, g). В каждой точке р ? H касательное пространство TpH можно естественным образом отождествить с векторами из TvM, которые касательны к Я в точке р. Нормальное пространство TpH состоит из всех векторов, ортогональных H в р. Поскольку H не вырождено, TpH П TpH = |0р} для каждой р ? Н. Обозначим ограничение экспоненциального отображения на нормальное расслоение TlH через ехр1. Тогда вектор X^TpH называется фокальной точкой подмногообразия Я, если отображение (ехр1)' вырождается в X. Соответствующая точка exp1 (X) многообразия M называется фокальной точкой подмногообразия Я вдоль геодезического сегмента.ехрі (ZX).*Если Я состоит из одной точки, то JlO

Гл. 11. Сингулярности

TpH = TpM и фокальная точка является просто обычной сопряженной точкой.

Фокальные точки можно определять и при помощи якобиевых полей и второй фундаментальной формы (см. Бишоп и Криттенден (1967, с. 279)). Этот подход, следуя Бёлтсу (1977), мы и будем использовать в этом разделе. Якобиевы поля привлекаются для того, чтобы измерять отклонение (или девиацию) соседних геодезических. Например, если q сопряжена р вдоль геодезической с, то геодезические, исходящие из р, с начальной касательной, близкой к с' в р, будут стремиться сфокусироваться в q вплоть до второго порядка. Они не обязательно проходят через q, но должны проходить близко к q. При изучении подмногообразий можно взять конгруэнцию геодезических, ортогональных подмногообразию, и использовать якобиевы поля для измерения девиации геодезических в этой конгруэнции. Если р —фокальная точка вдоль геодезической с, ортогональной подмногообразию Я, то некоторые геодезические, близкие с и ортогональные Я, имеют тенденцию фокусироваться в р. Это иллюстрируется на рис. 11.1 для евклидовой плоскости с обычной положительно определенной метрикой и на рис. 11.2 для лоренцевых многообразий.

В разд. 2.5 мы определили вторую фундаментальную форму S11: TpH X TvH --> 1K в направлении п, вторую фундаментальную форму S: TpH X TpH X TpH ->• R и оператор второй фундаментальной формы Ln: TpH TpH (см. определение 2.35). Напомним, что S (п, х, у) = 'S11 (х, у) == Sn (у, х) и g (Ln (х), у) = = S11 (х, у) = g (Vx Y, п) для п ? TpH н х, у ? TpH, где X и Y —локальные векторные продолжения х н у.

В этом разделе мы прежде всего коснемся оператора Ln: TpH —»• TpH. Заметим, что векторное поле г], ортогональное Я во всех точках Я, определяет (1, 1)-тензорное поле Ln на Я. Рассмотрим сначала пространственноподобные гиперповерхности. Если времениподобное нормальное векторное поле rj на H удовлетворяет условию g (її, г)) = —1, то L11 можно вычислять следующим образом.

Лемма 11.19. Пусть H —пространственноподобная гиперповерхность с времениподобным нормальным полем г) из единичных векторов. Если х —касательный вектор к Я, то Ln (х) = —VxTj

Доказательство. В силу условия g (г), т|) = —1 справедливо соотношение 0 = X (g (г), її)) — 2g (VjeT), т|), показывающее, что VxT) касателен к Я. Если теперь Y — произвольное векторное поле, касательное к Я, то g (т), Y) = 0. Таким образом, 0 = = * (g (rI. F)) = g (Va.t), Y) + g (т), VxY), так что g (VXY, t1) = = g (—Vxr], Y). Следовательно, g (L4 (х), Y) = g (V3cF, т)) = = g (—Vxt), Y). Ввиду произвольности Y получаем требуемый результат. ? 11.3. Фокальные точки

327

Рис. 11.1. Фокальными точками кривой на евклидовой плоскости являются ее центры кривизны. На рисунке показана соприкасающаяся окружность к кривой у в / = t0. Точка л; является внутренней точкой сегмента, идущего из у (Z0) в центр р соприкасающейся окружности. Точка у лежит на луче, идущем из у (t0) через р, за точкой р. Для некоторого интервала /0 — B1 <;
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed