Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
фt- Tc1 (f)M, TCi(i)Mi
по следующему правилу. Пусть P1: TCi(t) M1 -у Tc1(O)Mi — изоморфизм параллельного переноса вдоль C1, сохраняющий лоренцево скалярное произведение: по заданному v Q TCl строим единственное поле Y, параллельное вдоль C1 и удовлетворяющее условию Y (t) = V, и полагаем Pt (у) = Y (0). Аналогично определяется Qi: TC2(t)M2 Tcs(O)M2 — параллельное перенесение вдоль с2. Построим инъективное линейное отображение, сохраняющее лоренцево скалярное произведение:
І• (Tc1(O)Mu gi |Cl(0)) (Tci(O)M2, g2 |с2(0)); где і (cj (0)) = C2 (0). Тогда отображение
ф<: (TCl(t)Mx, gi \Cl(t)) ^ (TeAt)M2, g2\e2(t)), задаваемое формулой ф^ = Qj1 ° і « Ptj является изометрией, поскольку параллельный перенос сохраняет лоренцевы структуры. Отображение
ф: Vі (C1) - V^ (с2)
можно определить следующим образом. Для заданного X ? V1 (C1) найдем ф (X) Q V1 (с2) по правилу (фХ) (t) = фі (X (t)). Как и в римановом варианте доказательства, получаем, что (фХ)' = = Ф(Х'), где первое ковариантное дифференцирование проводится в M2, а второе — в TVf1.
Обозначим через G2jt (Ci) множество всех времениподобных плоскостей о, содержащих ci (t), где і = 1, 2. Тогда индуцированное отображение
фі'- g2, t (C1) ->- g2, і (C2)
определяется следующим образом. Условие о Q G2jt (C1) можно записать так: ст = Lin {у, c[(t)), где v — пространственноподобный вектор. Полагаем фі (ст) = Lin {фі (и), C2 (?)} ^ g2, t (C2). 10.2. Лоренцевы теоремы сравнения
301
Теперь можно сформулировать времениподобный вариант теоремы сравнения индексов.
Теорема 10.10. (теорема сравнения времениподобных индексов). Пусть размерности пространств (M1, g,) и (M2, g2) связаны условием dim M1 с dim M2 и ct: [0, ? ] M1 — направленные в будущее времениподобные нормальные геодезические, і = 1, 2. Предположим, что для всех t, 0 с t < ?, и всех времениподобных плоскостей о ? G2it (C1) секционные кривизны связаны соотношением Km1 (о) Ss Km2 (фt°)- Тогда для любого X ? V1 (C1) выполняются следующие неравенства:
(1) / (X, X) с I (ФХ, ФХ).
(2) Ind (C1) с Ind (с2).
(3) Ind0 (C1) с Ind0 (с2).
Доказательство. Вспоминая, что (cl, Сг) = —1 и (X, cl) = 0, получаем, что
(R (X, с[) с\, X) = -(X, X) К (X, сі). Аналогичные формулы справедливы для фХ и C2. Поэтому
/(фХ, фХ) = JU [-((фХ)', (фХ)') + (Я(фХ, Ci) с2, ФХ)Ы/ =
= JJ [-(Ф (X'), ф(Х')) + (/?(фХ, Сг) Сг, ФX)] dt ^
S3 JJ [-(X', X') + (R(X, с[) с\, X)]dt=I(X,X).n
Используя только что доказанную теорему сравнения для времениподобных индексов, получим теперь более сильную времениподобную теорему сравнения Рауха. Напомним сначала, что так как Ci: [0, L]-y Mi— времениподобные геодезические сегменты, то все векторные поля в Fj- (Ci) пространственноподобны.
Теорема 10.11. (времениподобная теорема сравнения Рауха). Пусть размерности пространств (M1, g,) и (M2, g2) связаны условием dim M1 с dim M2, a C1: [0, L } -v M1 и с2. [0, L } -»--*- M2 — направленные в будущее времениподобные нормальные геодезические сегменты. Предположим, что для всех t ? [0, L ] и любой о ? G2, і (C1) выполняется неравенство
Км, (о-) Km1 (Ф<а).
Пусть далее Y1 ? V1 (C1) и Y2 ? V1 (C2) — якобиевы поля на M1 и M2 соответственно, удовлетворяющие начальным условиям
F1(O) = F2(O) = O, (10.1)
gl (Fi (0), Yl (0)) = (Ya (0), Y2 (0)). (10.2) 306
Гл. 10. Некоторые результаты
(10.3)
для всех t (z (0, L]. В частности, C1 не имеет сопряженных точек на (0, L).
Доказательство. Его можно провести таким же образом, как и в книге Громола, Клингенберга и Мейера (1971, с. 196—199), за исключением неравенства (7) на с. 198, которое необходимо модифицировать следующим образом. Пусть Z ? V1 (C2) — (единственное) якобиево поле вдоль с2, для которого Z (0) = 0 и Z(Z0) = = фY1 (Z0), где ф — то же, что и выше. Нужно показать, что
Положим для этого C3 = C1 I [0, Z0] и C4 = C2 I [0, Z0]. Тогда
Согласно теореме сравнения для времениподобных индексов (теорема 10.10 (1)), последнее выражение не меньше —/ (Z \ Ci, Zj с4), которое в свою очередь в силу максимальности якобиевых полей по отношению к индексной форме в отсутствие сопряженных точек (теорема 9.23) равно (Z (Z0), Z' (Z0)). ?
В теореме 10.11 можно также предполагать, что Ct не имеет сопряженных точек на сегменте [0, L]. Тогда по теореме 10.10 (3) C1 также не будет иметь сопряженных точек на этом сегменте.
Для римановых многообразий, наделяя касательное пространство «плоской метрикой» (см. определение 9.17), можно показать, что экспоненциальное отображение не уменьшает длин касательных векторов (точную формулировку см. Бишоп и Криттенден (1967, с. 223, теорема 2 (1))). Сопоставляя якобиевы поля на данном римановом многообразии с якобиевыми полями в Rn и используя теорему сравнения Рауха, можно получить простое доказательство этого факта. Для доказательства аналогичных результатов для пространств с неотрицательной времениподобной секционной кривизной мы воспользуемся времениподобной теоремой сравнения Рауха (см. Флаэрти (1975а, с. 397)). Интуитивно ясно, что приведенное ниже следствие 10.12 выражает тот факт, что если времениподобные секционные кривизны (M, g) положительны, то направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из данной точки, разбегаются в M быстрее, чем «соответствующие» геодезические в пространстве-времени Минковского. Напомним, что канонический изоморфизм T0 определен в разд. 9.1, определение 9.15.
