Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
_ п~ 1
Уравнение Райчаудхури (11.2), свободное от вращения, для времениподобных геодезических и условие Ric (с', с') 0 приводят к неравенству
de 02
< —
dt ^ rt — 1 •
Интегрируя это неравенство от Z1 до t > Z1 (в случае O1 0), получаем, что
п— 1
0(0«
t 4- S1-
для t ? (tlt ti — S1). Отсюда следует, что | 0 (t) | бесконечно велика для некоторых t ? (tb tx — S1) при условии, что с (t) определена. В случае, если O1 >0, для t ? (Z1 — S1, Z1] получаем, что
е (0 г п~1
t +S1-I1
Отсюда вновь приходим к заключению, что | 0 (t) | является неограниченно большой для некоторых t ? (h — sI- h) при условии, что с (і) определена. ?
Покажем теперь, что времениподобная геодезическая в про-странстве-времени, удовлетворяющем сильному энергетическому и типовому условиям, должна либо быть неполной, либо содержать пару сопряженных точек. JlO
Гл. 11. Сингулярности
Предложение 11.10. Пусть (М, g) —произвольное пространство-время, размерность которого ^ 2. Предположим, что полная времениподобная геодезическая с: R ->- (М, g) удовлетворяет условию Ric (с' (t), с' (t)) ;зг 0 для всех t Q R. Если при некотором T1 Q R отображение R (•, с' (T1)) с' (T1): N (с (T1)) N (с (T1)) отлично от нулевого, то с имеет пару сопряженных точек.
Прежде чем доказать предложение 11.10, рассмотрим следующие четыре леммы (см. Бёлтс (1977, с. 30—37)).
Лемма 11.11. Пусть с: [a, b ] ->-(М, g) —времениподобная геодезическая без сопряженных точек. Тогда существует единственное (1, \)-тензорное поле А на Vj- (с), которое удовлетворяет дифференциальному уравнению A" + RA =Oc заданными граничными условиями А (а) и А (b).
Доказательство. Пусть S—линейное пространство (1, 1)-тензорных полей А на V1 (с), удовлетворяющих уравнению А" + + RA = 0. Обозначим через L (N (с (t))) множество линейных эндоморфизмов M (с (t)). Линейное преобразование ф, 5 ->--+L (N (с (а))) X L (N (с (b))) определим по следующему правилу:
Ф (Л) = (А (а), А (b)).
Чтобы доказать, что ф является изоморфизмом, и установить существование единственного решения А вследствие равенства dim 5 = dirtf (L (N (с (a)))) + dim'(L (N (с (b)))) = 2 (п — I)2, необходимо только показать, что ф инъективно. Допустим, что Ф (Л) = (Л (а), Л (b)) = (0, 0). Если Y (/) — произвольное векторное поле, параллельное вдоль с, то J (/) = А (t) Y (t) является якобиевым полем, для которого J (a) = J (b) = 0. Поэтому J = = 0. С другой стороны, в силу того что Y (/) — произвольное параллельное поле, это означает, что Л (t) = 0. Последнее показывает инъективность ф и завершает доказательство леммы. ?
Пусть теперь с: It1, оо) -> (M, g) — времениподобная геодезическая без сопряженных точек HS^(Z1) оо) фиксировано. Тогда, согласно лемме 11.11, на Vj-(C) существует единственное (1, 1)-тензорное поле, которое мы будем обозначать через Ds, удовлетворяющее дифференциальному уравнению Ds + RDs = Oc начальными условиями Ds (T1) = E и Ds (s) = 0. Так как Ds (Z1) = = Е, то ker (Ds (T1)) П ker (D's (T1)) = {0}. Тем самым Ds — якобиево поле (см. лемму 9.62). Из того, что Ds (s) = 0, вытекает, что Ds является лагранжевым тензорным полем. В ходе доказательства леммы 11.12 будет показано также, что если А — лагран-жево тензорное поле на Vх (с), у которого A (ii) — 0 и A' (t\) — = E4 то D3 (s) = - (Л*)"1 (S), 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия
319
Лемма 11.12. Пусть с: [Z1, оо) ->. (М, g) —времениподобная геодезическая без сопряженных точек и А — (единственный) лаг-ранжев тензор на Y1 (с), у которого A (Zi) =OuA' (^) = Е. Тогда для каждого s (Л, со) лагранжев тензор Ds на Vl (с), у которого Ds (Z1) = E и Ds (s) = О, удовлетворяет равенству
Ds(t) = A(t)\St(A*Af1(x)dx
для всех Z г; (Z1, s]. Тем самым Db (Z) является невырожденным для Z ? (zlf s).
Доказательство. Положим X () = A (Z) J* (Л*Л)-1 (т) dx. Достаточно показать, что X" + RX = О, X (s) = Ds (s) = 0 и X' (s) = Ds (s).
Убедимся сначала в справедливости равенства X" + RX = 0. Дифференцируя, получаем, что
X' (Z) = A' (Z) I \ (Л*Л)-! (т) dx — A (Z) (ЛМ)"1 (Z) = = A' (t)\] (AitA)"1 (т) dx - (Л*)"1 (Z).
Значит,
X' (/) = Л" (/) J* (Л*Л)"1 (T) dx - Л' (Z) (A*A)-1 (t) -
- ((Л*)-1)' (Z) = Л" (Z) j; (Л*Л)-1 (T) dx -
- Л' (J) Л-1 (Z) (Л*)"1 (0 -ь (A*)'1 (/I*)' (^T1 (ty
Но в силу того, что Л является невырожденным лагранжевым тензором, (Л*)' = А*А'А"1, так что (Л*)'1 (Л*)' (Л*)"1 = = А'А'1 (Л*)', и мы получаем
X"(t)=A" Kt) ^(А^А)-1 (X) dx.
Но тогда в силу равенства Л" (Z) + R (Z) Л (Z) = 0
X" (Z) 4 R (Z) X (Z) = [Л" (/) f R (Z) Л (Z)] J* (Л*Л)"1 (т) dx = 0.
Таким образом, X удовлетворяет дифференциальному уравнению Якоби.
Полагая і = s, получим, что
X (s) = Л (s) J' (A*Ap(x)dx = 0
и
X' (s) = Л' (s) J* (Л*Л)"Х (т) dx - (A*)'1 (s) = — (Л*)"1 (s). 320
Г л. 11. Сингулярности
Таким образом, остается проверить, что Ds (s) = — (Л*)-' (s). Используя равенство R* = R, получаем, что
[(AJDs - A*Ds)' =(AyDs -\-(A*)'Ds - (A*)'D' - AtDl =
= (A*)"DS - A*D'S = — AtRtDs + A'RDs -= 0.
