Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, поле (A*)'DS—A*D'S параллельно вдоль с. Начальные условия для А при t = Z1 приводят к тому, что A* (Z1) = 0 и (Л*)' (Z1) = (Л')* (Z1) = Е. Так как Ds (tx) = 0, то
((A*)'Ds - A*D'S) (h) = E.
Следовательно, ((Л*)'Л5 —A*D'S) (t) = E для всех t. Полагая t =s, получаем равенство
E = ((Л*)' Ds - AWs) (s) = - (AWs) (s),
которое означает, что Ds (s) = —(Л*)-1 (s) = X' (s). Отсюда вытекает, что тензоры Ds и X должны совпадать для всех t (Ds и X обращают уравнение Л" + RA =Ob тождество и принимают в точке t = s одинаковые значения).
Наконец, невырожденность Ds (t) для 11 (tx, s) вытекает из формулы
Ds (t) = A (t) Jj (А*А)'1 (т) dx
в силу того, что (A*A'1) (t) является положительно определенным самосопряженным тензорным полем для всех t > tx. ?
Заметим, что хотя интегральное представление лагранжева тензора Ds вдоль с, у которого Ds (Z1) = E и Ds (s) = 0, доказано в лемме 11.12 только для t?(tlt s], тем не менее в случае, если с определена для всех /^R и не имеет сопряженных точек, Ds (і) определено для всех ZcR.
Покажем теперь, что если с: [а, оо) -> (М, g) — времениподобная геодезическая без сопряженных точек, то построенное выше тензорное поле Ds сходится к лагранжеву тензорному полю D при s-y оо. Эта конструкция вполне аналогична построению устойчивых якобиевых полей для некоторых классов полных римановых многообразий без сопряженных точек (см. Эшенбург и О'Салливэн (1976, с. 227 и далее), Грин (1958), Э. Хопф (1948, с. 48)).
Лемма 11.13. Пусть с\ [а, оо) ->- (М, g) —времениподобная геодезическая без сопряженных точек. Пусть Ds, где s ? [а, оо) \ I^1I Ut1 > а, —лагранжево тензорное поле вдоль с, определяемое условиями Ds (Z1) = E и Ds (s) = 0. Тогда D (t) = lim Ds (t)
s->-f-ao
также является лагранжевым тензорным полем. Более того, D (t) невырожденно для всех t, Z1 < t < оо. 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия
321
Доказательство. Покажем сначала, что Ds (Z1) имеет при s -> оо самосопряженный предел. В силу того что D, является лагранжевым тензором, имеем {{Dl)* Ds) (Z1) = (DtDs) (Z1). Используя условие Ds (t\) = Е, получаем, что (Ds)* (/j) = Ds (t\). Поэтому предел Ds (Z1), если он существует, должен быть самосопряженным линейным отображением. Будем обозначать его через D' (tj): N (с (Z1)) N (с (Z1)). Следовательно, нам необходимо показать только, что для каждого у ? N (с (Z1)) значения g (D's (її) у, у) сходятся к некоторому значению g (D' (t{) у, у).
Чтобы установить существование этого предела, мы докажем, что функция s->g (Ds (/і) у, у) монотонно возрастает по s на луче Z1 < s < оо и ограничена сверху числом g (Da (/1) у, у). Пусть tx < г < со. Тогда, согласно лемме 11.12, имеем
Ds(I) = A' (І) \](А"А)^ (г) dx (Лг)-> (t). Тем самым для і ? (tu s) получаем, что g(D's(t)Y(t), Y(t)) =
= g ((Л' (t) j; (A*Ay1 (т) du) (Y (t)), Y (і)) - g^T1 (0 F (0. F (0).
где A —лагранжево тензорное поле вдоль с, удовлетворяющее условию A (Z1) = О, A' (I1) = Е, a Y (і) —векторное поле, параллельное вдоль с, Y (Z1) = у. Таким образом, для t, tx < t < г, получается равенство
g (Dltf) Y(i), Y(i))-g(D' (t)Y(t), Y (і)) =
= g ((Л' (і) (Л*Л)"* (т) dx) (Y (і)), Y (О).
Устремляя t tt и используя равенства Y (Z1) = у и Л' (Z1) = Е, имеем
g (Dstf1) у, y)-g(D-r(U)y, г/) = ё((|;(Л*Л)--1(г)Л)(Г(/1)), У (*,)).
Из того, что Y параллельно вдоль с, путем выбора ортонормиро-ванного базиса параллельных полей для V1 (с) можно убедиться в справедливости соотношения
Вследствие равенства (Л*Л)-1 = А'1 (Л*)"1 последнее соотношение можно записать в следующем виде:
g((\l(A*AyHx)dx) (Ytfl)), Ytfl)) =
= g((^*)"1 (т) F (т), (Л*)"1 (т) Y (т)) dx.
11 Дж. Бим, П. Эрлих JlO
Гл. 11. Сингулярности
Полученное выражение должно быть положительным в силу того, что (Л*)"1 (т) Y (т) является пространственноподобным вектором в N (с (t)) из каждого [г, s]. Поэтому
g (Dsih) у, y)-g(D'T(k)y, у)> о
и отображение sg (D's (U) у, у) монотонно для всех s>t\, как и требовалось.
Покажем теперь, что g (Ds (U) у, у) < g (Da Ui) у, у) для всех s > T1 и любого у Q N (с (t)). Вновь обозначим через Y единственное векторное поле, параллельное вдоль с, у которого Y U1) =-= у. Пусть J —кусочно-гладкое якобиево поле вдоль с\[а, s], задаваемое следующим образом:
iDa(t)Y(t). CK-Ktl,
() " [Ds (t)Y(t), t^t-^s.
Положим J,, = J\[a, T1] и Js = J I U1, s]. Тогда J (a) = J (s) = = 0, и J при t = tx является корректно определенным в силу того, что Da (T1) = Ds (T1) = Е. Используя для с\ [a, s] индексную форму I, введенную в разд. 9.1, определение 9.4, получаем, что
i(j, j) = i(j, Jt + /(У, j)l =
= ~g(J'a(U), Ja Ul)) Jrg(J's Ui), Js(U)) =
= -g(Da (U)Y(U), Y(U)) + g(D's (U)Y(U), Y(U)) =
= ~g(Da(U)y. У)-jTg(DKU)y, у)
(при выводе мы пользуемся формулой (9.2) определения 9.4 и равенствами Da U1) = Ds U1) = Е). Поскольку J (a) = J (s) = 0 и с не имеет сопряженных точек на [а, оо), согласно теореме 9.22 имеем I (J, J) < 0. Тем самым
g (Dsit1) у, у) Cg (Da (U)у, у)
