Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
не является нулевым тождественно. Изотропная геодезическая ?: (a, b) —V M называется удовлетворяющей типовому условию, если существует такое t0 ? (а, Ь), что эндоморфизм кривизны
R (•> P' Ю) ?' (to): О (? (t0)) ->G (? (to))
факторпространства G (? (t0)) не является тождественно нулевым. Пространство-время (М, g) называется удовлетворяющим типовому условию, если этому условию удовлетворяет каждая непродолжаемая непространственноподобная геодезическая.
В добавлении Б показано, что такая формулировка типового условия эквивалентна обычному определению в общей теории относительности; именно, непространственноподобная геодезическая с с касательным вектором W удовлетворяет типовому условию, если на с найдется точка, в которой
WWdWlaRn odieW ПФ 0.
Определение 11.8. Пространство-время удовлетворяет сильному энергетическому условию, если Ric (v, v) ^ 0 для всех непространственноподобных касательных векторов v ? TM.
В силу непрерывности условие кривизны определения 11.8 эквивалентно условию времениподобного схождения Хокинга и Эллиса (1977, с. 109), состоящему в том, что Ric (v, v) s» 0 для всех времениподобных V ? TM. Условием изотропного схождения Хокинг и Эллис называют следующее условие кривизны: Ric (w, w) ^s 0 для всех изотропных w ? TM (1977, с. 108). Там же (1977, с. 102) четырехмерное пространство-время (М, g) с тензором энергии импульса T (см. добавление В) называется удовлетворяющим JlO
Гл. 11. Сингулярности
слабому энергетическому условию, если T (v, v) ^ О для всех времениподобных V Q TM. Если уравнения Эйнштейна выполняются для четырехмерного пространства-времени (М, g) и T с космологической постоянной Л, то условие Ric (V, V) ^ 0, где V Q TM — произвольный времениподобный вектор, означает, что
7(7, t.)>(-^tr7-_A-)*(0f v)
для всех времениподобных V Q TM. Следуя Хокингу и Эллису (1977, с. 109), будем говорить, что четырехмерное пространство-время (М, g) и тензор энергии-импульса T удовлетворяют сильному энергетическому условию, если T (v, у) ^ (tr 772) g (v, v) для всех времениподобных V f TM. Если dim M = 4 и Л == 0, это эквивалентно, как можно видеть, условию Ric (v, v) 0 для всех времениподобных V Q TM (см. добавление В). У Xo-кинга и Пенроуза (1970, с. 539) неравенство Ric (v, v) ^ 0, выполненное для всех единичных времениподобных векторов V Q Q TM, называется энергетическим условием. Франкл (1979) и Ли (1975) пользуются тем же определением сильного энергетического условия, что и мы (см. определение 11.8). Обсуждение физической интерпретации этих условий кривизны в общей теории относительности можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, разд. 4.3).
Как мы только что отметили выше, если (М, g) удовлетворяет условию времениподобного схождения или сильному энергетическому условию, то (М, g) удовлетворяет и условию изотропного схождения. Ввиду того что несколько теорем жесткости в римановой геометрии связаны с условиями кривизны (см. Чигер и Эбин (1975, с. V и VI)), естественно рассмотреть условие кривизны Ric (w, w) — 0, выполненное для всех изотропных векторов W t Q TM. Применяя к каждому касательному пространству линей-ноалгебраические рассуждения, Дайцер и Номидзу (1980а) получили следующий результат о жесткости: если dim М>3 и Ric (w, w) = 0 для всех изотропных векторов w Q TM, то (М, g) является эйнштейновым, т. е. Ric = Xg для некоторой постоянной XQR. Поэтому, если (М, g) не является пространством Эйнштейна, то найдутся изотропные векторы, для которых кривизна Риччи отлична от нуля. Предположим далее, что (М, g) глобально гиперболично с гладкой глобально гиперболической временной функцией h: M-^-R, такой, что для некоторой гиперповерхности Коши S = /Г1 (t0) все изотропные кривизны Риччи Ric (g) (w, w) >0, если я (w) Q S. Если (M, g) удовлетворяет к тому же условию изотропного схождения, то M допускает метрику gx, глобально конформную g и такую, что глобально гиперболическое пространство-время (М, gx) удовлетворяет для всех изотропных векторов w Q TM следующему условию кривизны: Ric (gx) (w, w) >0 (см. Бим и Эрлих (1978, с. 174, теорема 7.1)). 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия
317
Существенным шагом в доказательстве того, что всякая полная времениподобная геодезическая в пространстве-времени, удовлетворяющем типовому и сильному энергетическому условиям, содержит пару сопряженных точек, является следующее предложение.
Предложение 11.9. Пусть с: J -*-(М, g) —непродолжаемая геодезическая, удовлетворяющая условию Ric (с (t), с' (/)) 0 для всех t ? J. Пусть А — лагранжево тензорное поле вдоль с. Предположим, что расхождение 0 (t) = tr (Л' (t) A'1 (t)) принимает отрицательное (соответственно положительное) значение O1 = = 0 (Z1) при tx ? J. Тогда det A (t) = 0 для некоторого t из интервала (tx, I1 — (п — 1) O1) (соответственно некоторого t из интервала (I1 — (п — 1) B1, Z1) при условии, что t ? J.
Доказательство. Вследствие равенства 0 — (det A)' (det Л)"1 имеем det Л (Z0) = 0 при условии, что | 0 | оо, когда t 10. Тем самым нужно только показать, что на указанных выше интервалах I 0| ->оо. Положим
