Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
< t <. ^o + B1 ближайшей точкой на у к л; является Y (t0). С другой стороны, для некоторого интервала t0 — е2 <
< t < t0 + е3 точка Y (0 является наиболее удаленной от у точкой на 7. Более того, прямые линии, ортогональные 7 вблизи 7 (t0), как бы фокусируются в р.
У
р.
ч
н
Рис. 11.2. Показано пространственноподобное подмногообразие H лоренцева многообразия (М, g). Здесь р является фокальной точкой для H вдоль геодезической с. Геодезический сегмент из р в q содержит л; внутри себя, а у лежит на геодезической с за точкой р. Все непространственноподобные кривые, «близкие» к с [q, х], которые соединяют точки Й, близкие к q, с х, имеют длину не больше длины с [q, х]. С другой стороны, наиболее удаленная от у точка из точек Н, близких к q, не есть q. Существуют точки, близкие к q на Н, которые можно соединить с у времениподобными кривыми длины большей, чем у с [q, у]. Более того, найдется по крайней мере одна кривая 7 на H, проходящая через q и такая, что семейство геодезических, ортогональных H относительно заданной лоренцевой метрики и исходящих из точек 7, близких q, как бы фокусируется в р вплоть до второго порядка.
Для заданного нормального поля rj единичных векторов, ортогональных проетранственноподобной гиперповерхности Я, совокупность нормальных времениподобных геодезических, ортогональных Я, с начальными направлениями rj (q), где q Q Я, определяет конгруэнцию времениподобных геодезических. Пусть с — 328
Г л. 11. Сингулярности
времениподобная геодезическая из этой конгруэнции, пересекающая Я в точке q. Обозначим через J векторное поле вариации вдоль с однопараметрического подсемейства конгруэнции. Тогда J является якобиевым полем, измеряющим скорость девиации геодезических однопараметрического подсемейства от с. Так как все геодезические из конгруэнции ортогональны Я, то, используя результат леммы 11.19, можно показать, что J удовлетворяет начальному условию
J'(q) = —Ln {q)J.
Это подсказывает следующее определение фокальной точки про-странственноподобной гиперповерхности в терминах якобиевых полей.
Определение 11.20. Пусть с —времениподобная геодезическая, ортогональная пространственноподобной гиперповерхности Я в точке q. Точка р на с называется фокальной точкой гиперповерхности H вдоль с, если существует нетривиальное якобиево поле J вдоль с, ортогональное с', обращающееся в нуль в точке р и удовлетворяющее условию J' = —LnJ в точке q.
Предположим, что Л — якобиев тензор вдоль времениподобной геодезической с, удовлетворяющий условиям A = E и А' = = —LnA = —Ln в точке q, где с пересекает пространственнопо-добную гиперповерхность Я. Тогда каждое якобиево поле J, ортогональное с и удовлетворяющее в точке qусловию J' = —LnJ, можно представить в следующем виде: J = AY, где Y = Y (t) — векторное поле, параллельное вдоль с и ортогональное с. Так как существуют п — 1 линейно независимых параллельных векторных полей, ортогональных с, то существует и (п — 1)-мерное линейное пространство якобиевых полей вдоль с, удовлетворяющих в точке q следующему условию: J' = —LnJ. Покажем теперь, что такой якобиев тензор А, удовлетворяющий условиям А = EmA' =—Ln в точке q, на самом деле является лагранжевым тензором.
Лемма 11.21. Предположим, что А является якобиевым тензорным полем вдоль времениподобной геодезической с. Пусть с ортогональна Я в Z1 и Ln — оператор второй фундаментальной формы на Н. Если A (Z1) = EuA' (Z1) = —LnA (Z1), то А —лагранжево тензорное поле.
Доказательство. Вторая фундаментальная форма Sti в т] ? ? T1H симметрична. Ввиду того что g (Ln (х), у) = Sti (х, у) = = Sti (у, х) = g (Ln (у), х), это означает, что Ln самосопряжен в q. Тем самым A' (Z1) = —LnA (Z1) = —Ln также является самосопряженным."! Следовательно, (A*)' (Z1) = A'(Z1). Из того, что A (Z1) = A* (Z1) = Е, вытекает равенство (Л*)' (Z1) Л (tx) = 11,3. Фокальные точки 333
= A* (Z1) A' (Z1). Таким образом, А —лагранжево тензорное поле, как и требовалось. ?
Тензор В = А'Арасхождение 0 и сдвиг а лагранжева тензора А, удовлетворяющего условиям леммы 11.21, можно определить, как в разд. 11.1, определение 11.2. Как и раньше, расхождение 0 лагранжева тензора А вдоль с удовлетворяет свободному от вращения уравнению Райчаудхури (11.2) для времениподобных геодезических. Докажем для пространственноподобных гиперповерхностей следующий аналог предложения 11.9.
Предложение 11.22. Пусть (М, g) —произвольное пространство-время размерности 2. Предположим, что с: J ->(М, g) — непродолжаемая времениподобная геодезическая, удовлетворяющая условию Ric (c' (Z), с (Z)) ^ 0 для всех і ? J и ортогональная пространственноподобной гиперповерхности H в точке q = с (Z1). Если —tr (L11) принимает в точке q отрицательное (соответственно положительное) значение G1, то на интервале с концами Z1 и Z1 — (п — 1)/0! существует фокальная точка Z гиперповерхности H (если только t ? J).
Доказательство. Вторая фундаментальная форма Sti в т) ? Є Ta-H является симметричной. Поэтому, согласно лемме 11.21, якобиево тензорное поле А, удовлетворяющее условиям A (Z1) = = EwA' (Z1) = —Ln является лагранжевым. Тогда O1 = — 9 (^i) = —tr (Lti). В силу предложения 11.9 тензор А на интервале с концами Z1 и Z1 —(п —l)/0j имеет точку вырождения. Поэтому требуемый результат вытекает из замечаний, непосредственно следующих за определением 11.20. ?
