Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 137

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 167 >> Следующая


для всех s > tlt и мы заключаем, что самосопряженный тензор D' U) = lims_+00D; Ui) существует.

Пусть D U) —единственное якобиево тензорное поле вдоль с, удовлетворяющее условиям D (Ti) = EnD' Ui) = lims-»+00Ds Ui). Так как и D (t), и D, (t) удовлетворяют дифференциальному уравнению A" + RА = 0, а начальные условия для Ds сходятся к начальным условиям для D при s + ею, то D (t) = = lims^+ooos U) и D' (t) = lims-+00 Ds (t) для всех t Q [а, оо). Это означает, что предел D (t) лагранжевых тензоров Db (t) также должен быть лагранжевым тензором.

Последнее утверждение леммы получаем, воспользовавшись представлением

D(U) = A(t) !"(ЛМ)"1 (т) dx 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия

323

и тем фактом, что (Л*Л) 1 (Z) является положительно определенным самосопряженным тензорным полем для всех Z > Z1. ?

Разобьем теперь лагранжевы тензоры вдоль полной времениподобной геодезической с: (— оо, оо) ->. (/Vf, g), считая выполненными следующие условия: Ric (с', с') 0 и A (Z1) = E, R (¦, с' (^i)) с' Ні) Ф 0 для некоторого і і t lb-, на Два класса S?+ и Sf^ (см. Бёлгс (1977, с. 36), Хокинг и Эллис (1977, с. 112)). Положим

= \А: А —лагранжев тензор, для которого A (Z1) — E и tr (A' (Z1)) S3 0; и

S?_ -= {А: А —лагранжев тензор, для которого A (Z1) --- E

и tr (A' (Z1)) < 01.

Лемма 11.14. Пусть с: R -> (М, g) —полная времениподобная геодезическая, такая, что Ri: (с', с') 0 и R (¦, с' (Z1)) X X с' (Z1) Ф 0 для некоторого Z1 f R. Тогда каждый A ^ S_ удовлетворяет условию det A (Z) = 0 для некоторого Z > Z1, а каждый А ? S74. удовлетворяет условию det A (Z) == 0 для некоторого Z < Z1.

Доказательство. Если Л ^ S'то 0 (Z1) =-= tr (А' (Z1) A'1 (Z1)) = = tr (A' (Z1)) < 0. Применяя свободное от вращения уравнение Райчаудхури (11.2) для времениподобных геодезических, подчиненных условиям Ric (с , с') 0 и tr (a2) 0, получим, что 0' (Z) с 0 для всех Z. Таким образом, 0 (Z) < 0 для всех Z > Z1. Если для некоторого Z0 > Z1 выполняется строгое неравенство, то сформулированное утверждение следует из предложения 11.9. Допустим поэтому, что 0 (Z) — 0 для Z ^ Z1. Тогда 0' (Z) -- 0 для Z Z1 и tr (а2) — 0. Отсюда в силу того, что а является самосопряженным, вытекает, что а — 0 при Z ^ Z1. Используя равенство 0 = 0 и самосопряженность В, имеем тогда, что В — а = 0. Отсюда, согласно формуле (11.1), получаем, что R = —B2 —В' = = 0 для Z Si Z1, что противоречит условию R (Z1) ф 0.

Если А ? то доказательство проводится аналогично. ?

Теперь мы подошли к доказательству предложения 11.10.

Доказательство предложения 11.10. Пусть с: R -»• (М, g) — полная времениподобная геодезическая, для которой Ric (c' (Z), с' (Z)) 0 при всех Z - R и R (-,c' (Z1)) с' (Z1) Ф 0 для некоторого Z1 t R. Предположим, что с не имеет сопряженных точек. Пусть тогда D = Iims^00Ds —лагранжево тензорное поле на Vl (с), D (Z1) = Е, построенное в лемме 11.13. Вследствие того что с I [Z1, оо) не имеет сопряженных точек, D (Z) не вырожден для всех Z Z1. Поэтому D ф S_ по лемме 11.14. Значит, D ? 3?+ и, более того, tr (D' (Z1)) > 0, так как D ф S_. В силу соотноше-11* JlO

Гл. 11. Сингулярности

ния D' (Yi) = Iims^00 D's (O) найдется s > tx, для которого tr (D's (/і)) > 0. Отсюда, согласно лемме 11.14, следует существование Z2 < Z1 и ненулевого касательного вектора v ? N (с (Z2)), таких, что Ds (Z2) (и) = 0. Напомним также (из доказательства леммы 11.12), что хотя Ds (s) = 0, но Ds (s) = (Л*)-1 (s) не вырождено. Следовательно, если Y ? V-'- (с) — (единственное) векторное поле, параллельное вдоль с, у которого Y (Z2) = v, то J = Ds (Y) является нетривиальным якобиевым полем вдоль с, для которого Y (Z2) = Y (s) = 0, что и приводит к противоречию. ?

Следствие 11.15. Пусть (Al, g) —пространство-время размерности Si2, удовлетворяющее сильному энергетическому и типовому условиям. Тогда каждая времениподобная геодезическая из (М, g) либо неполна, либо имеет пару сопряженных точек.

Рассмотрим теперь вопрос существования сопряженных точек на изотропных геодезических. Методы и результаты для изотропных геодезических во многом те же, что и для времениподобных геодезических, за исключением условия dim M ^ 3, которое необходимо вследствие равенства dim G (?) = dim M —2 и того, что изотропные геодезические в двумерных пространственно-временных многообразиях свободны от сопряженных точек. Применяя свободное от вращения уравнение Райчаудхури (11.5) для изотропных геодезических, можно установить следующий аналог предложения 11.9 (рассуждая так же, как и во времениподобной случае).

Предложение 11.16. Пусть (М, g) —произвольное пространство-время размерности 3. Предположим, что ?: J -> (М, g) — непродолжаемая изотропная геодезическая, удовлетворяющая условию Ric (?' (Z), ?' (/)) Ss 0 для всех Z ? J. Пусть А — лагран-жево тензорное поле вдоль ?, такое, что расхождение 0 (Z) = = tr (A' (Z) А'1 (/)) = [det X(Z)]"1 [det A (Z)]' имеет при Z1 Є J отрицательное (соответственно положительное) значение. Тогда

вии, что Z ? J; здесь O1 = 0 (Z1).

Для всех пространственно-временных многообразий размерности S& 3 можно получить также изотропный_аналог предложения 11.10, используя соответственно А, В, 0, о и т. д. вместо А, В, 0, о и т. д., участвующих в доказательстве для времениподобных геодезических.
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed