Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
кг*. wt)=Hq
[g(R(Eu с')с', Ft)\t 298
Гл. 10. Некоторые результаты
Откуда
л—і
^lKWt. ^)=J^sin»4-[Ric(c'(0, с'(O)- ("721)я2] dt.
<=і
Если Ric (с (t), с (/)) S= (п — 1) k для всех t Є [0, L ] и L Ss я/У"k , то, как нетрудно заметить, I ^г)3а0. Следовательно, / (Ц7г, Ц7г) S= 0 для некоторого t ? {1,2..... п — 1}.
С другой стороны, если с I [0, L ] свободна от сопряженных точек, то по теореме 9.22 / (Wi, W1) < 0 для любого і. Отсюда, как и требовалось, следует, что с имеет пару сопряженных точек, если только L S= я/ч/ k . ?
Используя теорему о времениподобном индексе Морса (теорема 9.27), можно доказать также более слабый вариант предложения 10.7.
Предложение 10.8. Пусть (M, g) — произвольное пространство-время размерности п, удовлетворяющее одному (либо обоим) из условий кривизны предложения 10.7. Если с: [а, Ь] -у M — произвольная времениподобная геодезическая длины L (с) >->-л/4./k , то точка t = а сопряжена вдоль с некоторому t0(J ? (а, Ь) и, следовательно, с не максимальна.
Доказательство. Из того, что L (с) >п/у'А , повторяя соответствующие рассуждения из доказательства предложения 10.7, в данном случае получим, что
"S / wo >0.
і--=I
Значит, / (Wb Wі) >0 для некоторого І. Тем самым Ind (с) >0. Согласно теореме о времениподобном индексе Морса (теорема 9.27), получаем, что dim Jt (с) ф 0 для некоторого t с (а> Ь). Это завершает доказательство. ?
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы обратиться к лоренцеву аналогу теоремы Бонне — Майерса для полных римановых многообразий о диаметре.
Теорема 10.9. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое про-странство-вргмя размерности п, удовлетворяющее одному из следующих условий кривизны:
(а) Все времениподобные секционные кривизны ограничены сверху постоянной —k <<0.
(б) Ric (и, v) S= (п — 1) k для всех единичных времениподобных векторов V ? TM.
Тогда diam (М, g) < я/уґk . 10.2. Лоренцевы теоремы сравнения
299
Доказательство. Предположим, что diam (М, g) я/у k. Тогда по определению diam (М, g) можно указать р, q ? М, для которых d (р, q) >я/У k. Из того, что (М, g) глобально гиперболично, вытекает существование максимального времениподобного геодезического сегмента с: [0, 1 ] М, такого, что с (0) = р и с (1) = q. Но так как L (с) = d (р, q) > я/У k , то геодезический сегмент с, согласно предложению 10.8, не максимален, что и приводит к противоречию. ?
Ясно, что аналог предложения 10.8 можно получить и для изотропных геодезических, используя теорию об изотропном индексе, развитую в разд. 9.3. С другой стороны, применяя результат Райчаудхури, можно получить более сильное утверждение (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 111)). Поэтому вместо того, чтобы прослеживать далее здесь отмеченную аналогию, мы отсылаем читателя к разд. 11.4 для обсуждения этих результатов (см. также Харрис (1979)).
10.2. Лоренцевы теоремы сравнения
Для последующего использования в разд. 10.3 приведем теперь времениподобные аналоги двух важных рабочих результатов глобальной римановой геометрии: теорему сравнения индексов (Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 192)) и теорему сравнения Payxa (Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 196) или Чигер и Эбин (1975, с. 29)), имеющие также самостоятельный интерес. Все результаты этого раздела, исключая следствие 10.12, опубликованы в работе Бимаи Эрлиха (1979, разд. 9). В действительности фактически существуют две версии теоремы сравнения Рауха, часто называемые теоремой Рауха I и теоремой Рауха II, весьма полезные в глобальной римановой геометрии (см. Чигер и Эбин (1975, теоремы 1.28 и 1.29 соответственно)). Приведенный в этом разделе результат (теорема 10.11 )является лоренцевым аналогом теоремы Рауха I. Харрис (1979, 1982) доказал лоренцевы аналоги обеих теорем Рауха, I и II, и, используя теорему Рауха II, получил лоренцев аналог теоремы сравнения Топоногова для времениподобных геодезических треугольников в некоторых классах пространственно-временных многообразий (см. Чигер и Эбин (1975, с. 42)). Харрис (1979, 1982) получил также, применяя упомянутый выше результат, лоренцев аналог теоремы Топоногова о диаметре (см. Чигер и Эбин (1975, с. 110)) (см. также добавление Г).
В оставшейся части этого раздела (M1, gx) и (M2,g2) — произвольные пространства, размерности которых связаны соотношением dim M1 с dim M2. Пусть Ci: [0, L) -у Mi — направленная в будущее времениподобная нормальная геодезическая. Всюду 304
Гл. 10. Некоторые результаты
в этом разделе индексные [формы на V1 (C1) и V1 (с3) будем обозначать через /. Обе лоренцевы метрики и g2 в ходе доказательства будем обозначать через (, ). Индексная форма / для времениподобной геодезической с, индекс Ind (с) и квазииндекс Ind0(C) определены в разд. 9.1, формула (9.1) и определение 9.24 соответственно.
Прежде всего необходимо определить изоморфизм
Ф: Vі (C1) - Vі (C2)
так, чтобы g2 (фХ (t), срХ (t)) = g1 (X (t), X (t)) для всех t Q ? [О, L]. Это можно сделать, применяя обычную конструкцию параллельного переноса в римановой геометрии. Определим сначала изометрию
