Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Похожий результат был получен Уленбеком (1975, теорема 5.3) для глобально гиперболических пространств, удовлетворяющих условию роста метрики (см. Уленбек (1975, с. 72)) и условию кривизны —g (R (V, w) w, v) < 0 для всех направленных в будущее изотропных векторов V и векторов w, таких, что g (V, w) = 0 в каждой точке из М. Такое пространство-время M можно накрыть пространством, которое топологически эквивалентно пространству Минковского (т. е. евклидову пространству).
Флаэрти (1975а, с. 398) показал также, что если(М, g) односвязно в будущем, непространственноподобно полно в будущем и имеет всюду неотрицательные времениподобные секционные кривизны, то в каждой точке р ? M экспоненциальное отображение ехрр регулярно вкладывает конус будущего из TpM в М. Чтобы получить этот результат, Флаэрти воспользовался поднятием и показал, что при сделанных предположениях любые два направленных в будущее времениподобных касательных вектора V, w ? TpMt связанные условием ехрр v = ехрр w, равны: v = w. Таким образом, односвязное в будущем и непространственноподобно полное в будущем пространство-время с неотрицательными времениподобными секционными кривизнами удовлетворяет условию теоремы 10.16. С другой стороны, Флаэрти показал, что любое односвязное в будущем непространственноподобно полное в будущем пространство-время со всюду неотрицательными времениподобными секционными кривизнами является также и глобально гиперболическим (19756, с. 200). Глава І1
СИНГУЛЯРНОСТИ
Общее допущение, которое принимается при изучении римановых многообразий, состоит в том, что рассматриваемые пространства предполагаются полными в смысле Коши, или, что равносильно, геодезически полными. Это предположение кажется вполне обоснованным вследствие того, что большое число важных римановых многообразий являются полными.
Для лоренцевых многообразий положение совсем иное. Значительное число наиболее важных лоренцевых многообразий, используемых в общей теории относительности в качестве моделей, геодезически неполно. Кроме того, проблема полноты усложняется еще и тем фактом, рассмотренным в предыдущих главах, что для лоренцевых многообразий существует несколько неэквивалентных видов полноты.
В этой главе мы займемся рассмотрением основных теорем, которые обеспечивают непространственноподобную геодезическую неполноту большого класса пространственно-временных многообразий. Каждое такое пространство-время содержит по крайней мере одну непространственноподобную геодезическую, которая V является одновременно и непродолжаемой, и неполной. Такая геодезическая имеет концевую точку р в причинной границе дсМ, которую можно вообразить находящейся вне пространства-времени, но не на бесконечности. Например, если 7 — непродолжаемая в будущее и неполная в будущем времениподобная геодезическая, для которой р ? дсМ — концевая точка в будущем, то у соответствует пути «свободно падающей» пробной частицы, которая падает на край вселенной (в точку р) за конечное время.
В общей теории относительности уже давно было известно, что многие важные пространственно-временные многообразия являются непространственноподобно неполными. Тем не менее считалось, что эта неполнота вызвана симметрией рассматриваемых моделей. И поэтому было ощущение, что непространственноподобная полнота является разумным допущением для физически реальных пространственно-временных многообразий. Основной довод для этого допущения базировался на физиче ской интуиции, которая была явно неоправданной, о чем мож" //./. Якобиевы тензоры
309
но говорить постфактум (см. Типлер, Кларке и Эллис (1980, гл. 4)).
Если (М, g) — нерасширяемое пространство-время, имеющее непродолжаемую непространственноподобную геодезическую, -которая к тому же и неполна, то говорят, что (М, g) имеет сингу-лярность. Цель этой главы — установить несколько теорем сингулярности (т. е. неполноты).
Прежде чем начать наше исследование теории сингулярностей, мы остановимся на том, что поясним, почему эта теория работает для пространственно-временных многообразий размерности и не работает в случае^если размерность пространства равна 2. Отмеченный в начале разі,. 9.2 простой факт состоял в том, чтоСх в двумерном пространстве-времени никакая изотропная геодези- ' ческая не содержит сопряженных точек. Вместе с тем основной ¦ ход в доказательстве теорем сингулярности заключается в том, чтобы показать, что определенные условия на кривизну вынуждают каждую полную непространственноподобную геодезическую содержать пару сопряженных точек.
В этой главе будет предполагаться, что читатель знаком с понятиями и некоторыми основными свойствами якобиевых полей, рассмотренными в разд. 9.1 и 9.3.
11.1. Якобиевы тензоры
Как мы видели в разд. 9.3 (определение 9.61 и следующие за ним страницы), якобиевы тензоры являются удобным средством для изучения сопряженных точек. Для данного времениподобного геодезического сегмента с: [а, Ь] -> M обозначим через N (с (t)) (п — 1)-мерное подпространство пространства Tc^) М, состоящее из касательных векторов, ортогональных с' (t), как. в определении 9.1. (1. 1)-тензорное поле А (t) на V1 (с) является линейным отображением
