Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 129

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 167 >> Следующая


Следствие 10.12. Пусть (M, g) —пространство-время со всюду неотрицательной времениподобной секционной кривизной, и

(K1 (Z0), Yi (Z0)) Ss (Z (Z0), Z' (Z0)).

(Y1 (to), K1' (Z0)) = -/ (Y1 I с3, K1 I с3) Ss

--/(№) I C4, (фГх) I с4). 10.2. Лоренцевы теоремы сравнения

307

пусть V Q TpM — направленный в будущее времениподобный касательный вектор, подчиненный условию g (v, v) = —1. Тогда для любого направленного в будущее непространственноподобного касательного вектора w Q TpM вектор b - ти (w) T0 (TpM) удовлетворяет неравенству

g (ехрр. Ь, ехрPtb)^g(w, w) = ((b, b)).

Доказательство. Сначала докажем это неравенство для вектора b = %v (w) Q Tv (TpM) при условии g (v, w) = 0, применяя времениподобную теорему сравнения Payxa к следующей паре пространств: (M1, gx) = (М, g) и (M2, g2) — пространство-время Минковского (rf, g0), где п -- dim М. Положим C1 (() = = expj, tv и рассмотрим (единственное) якобиево поле Y1 ^ V1 (с), для которого Y1 (0) ^ 0 и Y\ (0) =-= w. Согласно предложению 9.16, имеем Y1 (1) = ехрр, Ь.

Пусть с2: [0, 1 ] — произвольная времениподобная нор-

мальная геодезическая. Выберем w Q N (с2 (0)) так, чтобы g0 (w, w) = Si (w> w)- Пусть далее Y2 Q Kj-(C2) — (единственное) якобиево поле, для которого Y2 (0) =Oh^ (0) = w. Тогда Y2 (t) = = t Pt (w), где через Pt обозначен лорендев параллельный перенос из C2 (0) BC2 (/) вдоль с2. Применяя теорему 10.11, получим, что

gl(expp,b, expPtb) = gl (K1(I), Yi (1)) 5? g0 (Y2 (1), K2(I)) =

= go(Pl(®>), Pl (W))= go (W, w) = g1(w, w) = ((b, b)),

что и требовалось доказать.

Обратимся теперь к общему случаю. Вектор w можно представить в виде суммы W = W1 + W2, где W1 = %v для некоторого X >0 и g (v, w2) = 0. Положим bt -= %v (wt), і = 1, 2, так, что b = Ьг Ь2, и вычислим

g(expp,&, expPtb)=g(expPtbu ехрр.бі) +

4- 2g (ехрр, bu expp, b2) -f g (expp, b2, expPi b2).

Применяя лемму Гаусса (теорема 9.18) к первым двум слагаемым, получим

?(ехРр.&, ехрр.&) = «Ьь 6,)) г 2((Ьи Ь2))-[-

+ g(expPtb2, ехрр,/;2) = ((^1, b,))-l~g(exppj2, ехрр. t2).

вследствие того, что ((blt b2)) — g (W1, w2) = 0. Заменяя оставшееся слагаемое на произведение ((b2, Ь2)) и используя неравенство, полученное в первой части доказательства, приходим к требуемому:

?(ехр„, b, ехр p. b) Ss (фи bi)) + ((b2, b2)) .=

= ((bi + b2, fei + ba» = «ft, b)). ? 304

Гл. 10. Некоторые результаты

10.3. Лоренцевы теоремы Адамара — Картана

Прежде всего мы докажем основной результат, связывающий сопряженные точки и времениподобную секционную кривизну (см. Флаэрти (1975 а, предложение 2.1); для лоренцевой метрики Флаэрти использует соглашение (+, —, ..., —), так что его условие на секционную кривизну имеет знак: противоположный используемому нами).

Предложение 10.13. Пусть (M, g) — пространство-время, времениподобная секционная кривизна которого всюду неотрицательна. Тогда никакая непространственноподобная геодезическая не имеет сопряженных точек.

Доказательство. Пусть сначала с: [0, а) ->- M — произвольная направленная в будущее времениподобная нормальная геодезическая. Из следствия 9.10 вытекает, что если X — якобиево поле вдоль с, у которого X (0) = X (Z0) = 0 для некоторого Z0 ? G (0, а), то X ? Vі- (с). Поэтому можно ограничиться рассмотрением только якобиевых полей ) ^ F1 (с), у которых J (0) = 0. Вследствие того что J ? Vі- ( с) и с — времениподобная геодезическая, также и Vі- (с). Дифференцируя гладкую функцию / (0 = g [J (0> J' (0)> получаем, что

/' (Z) - g (J' (Z), J' (Z)) + g(J (t), J" (Z)) =

= g (/' (0, Ґ (0) -g(J (z), R (J (t), с' (О)с' (0)= = g(J'(t), J' (t))+g(J (0, J{t))K{J{t), с' (0)5*0

для всех Z ? [0, а). Если J (Z0) = 0 для некоторого Z0 ? [0, а), то / (0) = / (Z0) = 0. Так как / не убывает, то /(0 = 0 для всех t Є [0, t0]. Значит, 0 = /' (0 = g (J' (0), J' (0)) в силу условия / (0) =0. Отсюда мы заключаем, что J' (0) = 0. Следовательно, J = 0, и на отрезке [0, а) точек, сопряженных / = 0 вдоль с, нет.

Обратимся теперь к случаю: когда ?: [0, а) M — изотропная геодезическая, и воспользуемся изотропной индексной формой. Пусть t0 ? [0, а) произвольно. Покажем, что форма /: X0 (? I f0, Z0] X X0 (? | [0, t0)) ->-R отрицательно определена. Тогда: согласно теореме 9.69,|точек, сопряженных / = 0 вдоль с, на отрезке (0, Z0] не будет.

Если W ? X0 (о) — гладкий параллельный векторный класс, то W = [?] ввиду того, что V(O) = [?'(0)]. Поэтому, если W ^ ї„ (?) не является гладким параллельным векторным классом, то g (W' (s), W' (s)) >0 для некоторого s ? (0, Z0). Вследствие положительной определенности g неравенство g(W' (/), W (0) ^ 0 выполняется для всех s ? [0, /„]. Для произвольного фиксированного Z ? [0, /0] рассмотрим теперь следующую величину: g (R (W (/), ?' (/)) P' (/), W (Z)). Если W (Z) = Ip' (/)], TO 10.3. Лоренцевы теоремы Адамара—Картана

305

g (R (W (t), ?' (0) P' (0, W (/)) = 0. Если же W (t) Ф t?' (/)], то можно найти пространственноподобный касательный вектор w, перпендикулярный ?' (/) и такой, что я (w) = W (t). Тогда, пользуясь формулой (9.35) разд. 9.3, получим, что
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed