Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
А = A (I): N (с (t)) N (с (t))
для каждого t Q [а, Ь]. Кроме того, можно определить составной эндоморфизм RA (t): N (с (t)) -> N (с (t)), положив
RA (t) (V) =R (A (t) (V), с' (()) с' (t).
Тензорное поле A* (t), сопряженное A (t), определяется следующим требованием:
g (A (t) (w), V) = g (A* (t) (V), w)
для всех V, w Q N (с (t)).
Гладкое (1, 1)-тензорное поле A (t) на Vх (с) называется яко-биевым тензорным полем, если A" + RA = 0 и
ker (А (()) П ker (A' (O) = W JlO Гл. 11. Сингулярности
для всех t (z t?> Ь]. Если Y —- векторное поле, параллельное вдоль с, и Л — якобиев тензор на F1 (с), то векторное поле J — = A (F) удовлетворяет дифференциальному уравнению J" + + R (J, с') с' = 0 и, следовательно, является якобиевым полем. Из того, что ker (Л (t)) П ker (Л' (t)) = |0| для всех t ? [a, Ь\, вытекает, что если Y является ненулевым полем, параллельным вдоль с, то / = Л (F) — нетривиальное якобиево поле. Предположим, что Л — якобиев тензор на Fx (с), у которого Л (а) = 0. Если Л (t0) (V) — 0 для некоторого t0 ? (а, o} и 0 ф v ? N (с (t0)), то, взяв в качестве Y (единственное) векторное поле, параллельное вдоль с и такое, что F (t0) = и, получаем, что J=A (Y) — якобиево поле, подчиненное условиям J (a) = J (t0) = 0.
Якобиево тензорное поле Л называется лагранжевым тензорным полем, если
(A')* А — Л*Л' = 0
для всех t ? [о. Ь]. Как и в доказательстве леммы 9.67, можно показать, что якобиево тензорное поле Л является лагранжевым, если Л (Z0) = 0 для некоторого /0(Е Ol-
Замечание 11.1. Пусть с: [а, &] -> M — нормальная времениподобная геодезическая и Zi11, ..., En = с' — параллельно перенесенный ортонормированный базис вдоль с. Тогда N (с (t)) является линейной оболочкой, натянутой на E1, ..., Еп_ъ и каждое якобиево векторное поле J вдоль с, всюду ортогональное с , можно выразить через E1, ..., En^1. Тем самым J можно представить в виде вектор-столбца с п — 1 компонентами. Используя это представление, обозначим через Ji = Ji (t) вектор-столбец, соответствующий якобиеву полю J вдоль с, которое удовлетворяет условиям J (t0) = QnJ' (t0) = Ei (t0). Пусть
Л (t) = U1 (t), ..., /„_! (01
есть (п — 1) X (п — 1)-матрица, в i'-м столбце которой расположен Ji (t). Эта матрица Л (t) является представлением лагран-жева тензорного поля вдоль с. Используя тот же базис E1, ..., Еп_х, легко убедиться в том, что сопряженному полю Л* (t) соответствует матрица, получаемая из Л (t) транспонированием. Пространство якобиевых полей, обращающихся в нуль в t0, производные которых ортогональны к с' в t0, можно отождествить с линейной оболочкой столбцов матрицы Л. Таким образом, точки, сопряженные с (t0) вдоль с, — это в точности те же точки, в которых det Л (t) = 0. Следовательно, det Л (t) имеет на [a, b ] лишь изолированные нули. Кроме того, кратность точки t = tl3 сопряженной t0, совпадает с дефектом Л (Z1): N (с (Z1)) -> N (с (Z1)).
Тот факт, что Л (t0) = 0 и Л' (t0) =E, в проведенном выше обсуждении является весьма существенным. Можно построить лагранжевы тензоры вдоль времениподобной геодезической с: //./. Якобиевы тензоры
311
J -> (М, g), которые вырождаются в различных точках Z0, Z1 ? J, хотя с и не имеет сопряженных точек. Например, пусть (М, g) — это R3 с лоренцевой метрикой ds2 = —dx2 + dy2 + dz2 и с (Z) = (Z, 0, 0). Положим E1 = діду и E2 = d/dz. Тогда, если Л является якобиевым тензором вдоль с с матрицей
Z 0
A{t) =
0 Z- 1
вычисленной относительно E1O с и E2O с, то А' = E и А* = А, так что (Л')* Л —Л*Л' = 0 и Л —лагранжев тензор. Ясно, что Л (0) (E1 (с (0))) = 0 и A(I) (E2 (с (I))) = 0. Однако у с нет сопряженных точек вследствие того, что (R3, ds2) — пространство Минковского.
Определим теперь расхождение, вращение и сдвиг якобиева тензора Л вдоль времениподобной геодезической с: [a, b ] -> М. Как и прежде, E = E (t) представляет (1, 1)-тензорное поле на V1 (с), такое, что E (t) = id: N (с (t)) -> N (с (t)) для каждого t.
Определение 11.2. Пусть Л — якобиево тензорное поле вдоль времениподобной геодезической и B = Л'Л-1 в тех точках, где определено Л"1.
(а) Расхождение 0 определяется по правилу
0 = tr (В).
(б) Тензор вращения со определяется по правилу
co = -i-(b-b*).
(в) Тензор (поперечного) сдвига ст определяется по правилу
cr = -l.(? + ?*)--^rE.
Применяя методы матричной алгебры и используя ортонорми-рованный базис параллельных полей для V1 (с), можно показать, что
0 = tr (Л'Л"1) = (det Л)"1 (det А)'.
Тогда, если Л — якобиево тензорное поле, для которого Л (t0) = 0, Л' (t0) =E и I 0 (t) I -VOO при t -W1, то det Л (Z1) = 0 и t = Z1 сопряжена Z0 вдоль с.
Используя соотношение (Л-1)' = —Л-1Л'Л"\ вычислим теперь производную В = Л'Л-1. Имеем
В' = (Л'Л-1)' = А'А-1 — A1A-1A1A'1 = — R — ВВ. (ll.lj JlO
Гл. 11. Сингулярности
Так как 0 = tr (В) и В = со + ст + 1 Е, то отсюда получаем,
что
0' = tr (B') = -tr (R) - tr (BB) = —tr (В) -
-tr ((co + a-b-^-^Z:)2) tr(7?)
— tr ^co3 т ст3 r -. 6 |ч., E
= —tr (R) - tr (со2) - tr (ст3)
