Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 130

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 167 >> Следующая


g (R (W (t), ?' (O) P' (/), W (/)) =g(R (W, ?' (0) P' [t), W).

Ввиду того что w пространственнонодобен, можно найти последовательность времениподобных 2-плоскостей G71 --¦ Lin (O)fl, Vn), таких, что Wn пространственноподобен, Vn времениподобен, g (O)fl, vn) = 0, Wn w и Vn -у P' (/), так что ап Lin (w, ?' (t). Вследствие того что неравенства g (wn, wn) > 0, g (vn, vn) -< О, К (vn, wn) ^ 0 справедливы для любого п, по непрерывности получаем

і (R (W (/), ?' (/)) ?' ((), W (іt)) = g (/? (да, ?' (/)) ?' ((), w) = = Umg(R(wn, vn) vn, Wn)= lim K(wn, vn)g(wn, wn)g(vn, vn) < 0.

П-+-00 n-*-oo

Таким образом, в обоих случаяx~g (R (W (t), ?' (t)) ?' (/)), W (t)) < 0. Отсюда при условии, что W ф [?' 1, получаем требуемое

7(W, W) = W'^i-gfW', W') + g(R(W, ?') ?', W))\tdt<0.

Стандартное определение в глобальном римановой геометрии (см. О'Салливэн (1974), Галливер (1975)) может служить основанием для следующего определения.

Определение 10.14. Будем говорить, что пространство-время (М, g) не имеет точек, времениподобно сопряженных в будущем, если для любой направленной в будущее времениподобной геодезической с: [0, а) (М, g) выполняется следующее условие: никакое нетривиальное якобиево поле из Vх (с) не обращается в нуль более одного раза.

Ввиду леммы 9.46 аналогичное определение можно сформулировать и для пространств, либо не имеющих точек, изотропно сопряженных в будущем, либо не имеющих точек, непространственноподобно сопряженных в будущем. Предложение 10.13 гарантирует, что если (М, g) — пространство-время со всюду неотрицательной времениподобной секционной кривизной, то (М, g) не имеет точек, непространственноподобно сопряженных в будущем.

Лоренцевы многообразия с неотрицательной времениподобной секционной кривизной или без времениподобно сопряженных в будущем точек можно охарактеризовать через поведение их якобиевых полей. Подобное описание применяется и к римановым многообразиям (см. О, Салливэн (1974, предложение 4)). 306

Гл. 10. Некоторые результаты

Предложение 10.15. (а) (М, g) имеет всюду неотрицательную времениподобную секционную кривизну в том и только том случае, когда

-§r(g(Y(t), Yit)))^ 0

для каждого якобиева поля Y ? Vа (с) вдоль любой направленной в будущее времениподобной геодезической с.

(б) (M, g) не имеет точек, времениподобно сопряженных в будущем, в том и только том случае, если g (Y (t), Y (/)) >0 для всех t >0, где Y ^ Vj-(C), Y (0) = 0, —любое нетривиальное якобиево поле вдоль произвольной направленной в будущее времениподобной геодезической с.

Доказательство, (а) Допустим, что (М, g) имеет всюду неотрицательную времениподобную секционную кривизну. Пусть Y ? ? Vі- (с) — якобиево поле вдоль нормальной времениподобной геодезической с. Тогда и Y' ? V1 (с), и мы получаем, что

~(g(Y, Y)) = 2g(Y', Y') — 2g (R (Y, с') с'. Y) =

= 2g(Y', Y') + 2g(Y, Y)K(Y, 0.

Обратно, пусть v — направленный в будущее времениподоб-ный и w — пространственноподобный касательные векторы, порождающие времениподобную 2-плоскость и подчиненные условиям g (v, v) = —1, g (w, w) = 1 Hg (v, w) = 0. Пусть C (/) = exp (tv) и V ? V1 (с) — якобиево поле с начальными условиями Y (0) = w и К' (0) =0. Тогда по предположению

0<~~(g(Y, Y)) |<=0 = 2g (R (Y (0), с'(0)) с'(0), Y(O)) =

= —2g (R (w, v) v, w) = 2К (v, w)

ввиду того, что первое слагаемое при дифференцировании обращается в нуль вследствие условия Y' (0) = 0. Поэтому /С (v, w)

0, что и требовалось.

(б) Доказательство ясно из определения 10.14. П

Пользуясь развитой в разд. 9.1 и 9.2 теорией времениподобного индекса, приведем теперь лоренцев вариант теоремы Ада-мара—Картана для глобально гиперболических пространств. Его доказательство проводится подобно тому, как доказывается теорема Адамара—Картана для полных римановых многообразий в теории Морса (см. Милнор (1966, с. 114)). Напомним, что пространство-время называется односвязным в будущем, если любые две направленные в будущее времениподобные гладкие кривые, соединяющие р с q, гомотопны в классе (гладких) направленных в будущее времениподобных кривых с фиксированными концевыми точками р и q (определение 9.28). iO.3. Лоренцевы теоремы Адамара—Картана

307

Теорема 10.16. Пусть (M, g) —- односвязное в будущем глобально гиперболическое пространство-время без непространственноподобно сопряженных в будущем точек. Тогда для любых р ? M и q ? М, связанных отношением р q, существует ровно одна (с точностью до перепараметризации) направленная в будущее времениподобная геодезическая, идущая из р в q.

Доказательство. Вследствие того что (/И, g) — глобально гиперболическое, существует максимальная направленная в будущее времениподобная геодезическая, соединяющая р с q. Из того, что точек, непространственноподобно сопряженных в будущем, нет, вытекает, что любая направленная в будущее геодезическая, идущая из р в q, имеет нулевой индекс (см. теорему 9.27). Тем самым пространство времениподобных путей C^p, q) имеет гомотопический тип клеточного комплекса с одной клеткой нулевой размерности, т. е. точкой, для каждой направленной в будущее времениподобной геодезической, идущей из р в q. С другой стороны, из того, что m односвязно b будущем, вытекает, что С(р, q) связно и, значит, состоит из одной точки. Поэтому найдется самое большее одна направленная в будущее времениподобная геодезическая, идущая из р в q. ?
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed