Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Остается показать непрерывность /0 в ? справа. Пусть {sn} — последовательность в J, такая, что sn > t для всех п и sn -+ t. В силу того что /о не убывает и принимает только целые значения, можно считать, что /0 (sn) = k для всех п. Тогда вследствие монотонности функции /о имеем /о (?) < k. Поэтому остается показать, ЧТО /о (?) k. Чтобы убедиться в этом, выберем для каждого п ^-мерное подпространство An пространства E так, чтобы форма Qsn J A11 X An была положительно полуопределена. Пусть [CL1(U), ..., ah (п)} —ортонормированный базис подпространства An. Поэтому Ja1 (п), ..., ah (п)\ содержится в компактном подмножестве 5 пространства Е. Вследствие компактности 5 можно предполагать, что Cij (п) -+ uj ? S для каждого /. Из непрерывности
скалярного произведения вытекает, что векторы Ia1.....ah\
образуют ортонормированное подмножество 5. Тогда А = = Lin Ja1, ..., ak\ —^-мерное подпространство пространства Е, причем для любого и ? А справедливо разложение и = Jj/=irKjaj. ПОЛОЖИМ U (ti) = (п). Ясно, что и (п) -+ и при п —+ оо.
Поэтому, используя непрерывность отображения Q: E X E X J -+--+ R, ИЗ положительной полуопределенности Qsn IA11 X An для любого п получаем, что
Qt (и, п) = Iim Q (и (п), и (п), sn) > 0.
ГС->оо
Таким образом, форма Qt \ А X А является положительно полуопределенной. Таким образом, /0 (?) dim А = k, как и требовалось. ? 250 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
мениподобные кривые Yi п Та из P в Я не гомотопны в классе времениподобных кривых с концами р н q.
Мы заключим этот раздел одним приложением теоремы Морса о времениподобном индексе к исследованию структуры множества раздела односвязных в будущем глобально гиперболических пространственно-временных многообразий (см. Бим и Эрлих (1979в, разд. 8)).
Определение 9.28. Пространство-время (М, g) называется односвязным в будущем, если для любых произвольных р, q ? M любые две направленные в будущее времениподобные кривые из р в q гомотопны в классе гладких направленных в будущее времениподобных кривых с фиксированными концами р и q.
Это понятие, являющееся лоренцевым аналогом простой односвязности, изучалось Авезом (1963), Смитом (1960а) и Флаэрти (1975а, с. 395). Обращение в нуль лоренцевой фундаментальной группы означает, что многообразие (М, g) односвязно в будущем. Однако односвязность M как топологического пространства не влечет за собой, как показывает приводимый ниже пример Герока, односвязности (М, g) в будущем. Рассмотрим R3 с координатами (х, у, t) и лоренцевой метрикой ds2 = —dt2 + dx2 + dy2. Пусть T = 0, 0) С- R3: X^s= 0}. Рассмотрим M = R3\7 с лоренцевой метрикой, индуцированной из (R3, ds2). Легко видеть, что M односвязно. Точки р — (2, 0, —1) и q = (2, 0, 1) можно соединить направленными в будущее времениподобными кривыми Yi и Y2, проходящими по разные стороны от оси Ox (рис. 9.1). Однако Yi и у2 не гомотопны в классе направленных в будущее времениподобных кривых, начинающихся ври заканчивающихся в q, ввиду 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
251
того что такая гомотопия должна была бы огибать точку (0, 0, 0) и, значит, включать и пространственноподобные кривые.
Заметим, что если (М, g) односвязно в будущем, то пространство путей гладких времениподобных кривых из р в q связно. Тем самым, привлекая лемму 4.11 Чигера и Эбина (1975, с. 85) и стандартную теорию Морса для пространства путей (см. Эвер-сон и Толбот (1976), Уленбек (1975), Вудхауз (1976)), получаем следующее утверждение.
Предложение 9.29. Пусть (М, g) —односвязное в будущем и глобально гиперболическое пространство-время. Зафиксируем р ? M и предположим, что каждая направленная в будущее времениподобная геофизическая, исходящая из р, имеет либо нулевой индекс, либо не меньший двух. Тогда для данной точки q ? ? I+ (р), такой, что р и q времениподобно не сопряжены, существу :т в точности одна направленная в будущее сремениподоб-ная геодезическая нулевого индекса, идущая из р в q, а именно единственная максимальная геодезическая из р в q.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать лоренцев аналог для глобально гиперболических односвязных в будущем пространственно-временных многообразий — теорему Чигера и Эбина (1975, теорема 5.11) о множестве раздела полного риманова многообразия, являющуюся обобщением теоремы Криттендена (1962) для односвязных групп Ли с биинвариантными римановыми метриками. Глобальная гиперболичность используется в теореме 9.30 для того, чтобы гарантировать наличие максимальных геодезических сегментов, соединяющих хронологически связанные точки.
Теорема 9.30. Пусть (M,g) —односвязное в будущем глобально гиперболическое прсстранство-время. Предположим, что для точки р ? M первая точка, сопряженная р в будущем вдоль каждой времениподобной геодезической у, у (0) = р, является точкой порядка ^a 2. Тогда множество времениподобного раздела точки р в будущем и множество первых сопряженных р точек в будущем совпадают. Тем самым все, исходящие из р геодезические являются максимальными вплоть до первой сопряженной точки.
