Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 9,32. Пусть (M, g) —глобально гиперболическое про-странство-вре.чя и р —произвольная точка из М. Тогда множество точек из М, сопряженных р вдоль некоторой геодезической, имеет меру нуль. Поэтому для множества точек q ? M второй категории р и q не являются сопряженными (какую бы геодезическую, их соединяющую, мы ни взяли).
Напомним некоторые свойства функционала лоренцевой длины дуги L: С(р, ч) к'. Во-первых, из вариационного исчисления следует, что критические точки L на С{р,ц) являются в точности направленными в будущее времениподобными геодезическими сегментами из р в q, параметр на которых пропорционален длине дуги. Во-вторых, из теоремы 9.27 о времениподобном индексе Морса вытекает, что индекс критической і очки функционала L равен ее индексу как геодезической, т. е. числу точек, сопряженных P вдоль геодезической из р в q с учетом кратности (сама точка q исключается).
Чтобы показать, что L является гомотопической функцией Морса, необходимо аппроксимировать С(р, q) подмножеством М(Р, q), определяемым следующим условием: существует ретракция C(P,q) на M(p,Q), увеличивающая функционал длины L. Эго соответствует конечномерной аппроксимации пространства путей в римановой теории Морса. Соответствующая лоренцева аппроксимация, как будет ясно из приводимой ниже леммы 9.34, делает решающим использование глобальной гиперболичности (М, g). Но сначала полезно дать следующее определение.
Определение 9.33. Пусть р, q ? (М, g) и связаны отношением р < q. Конечный набор Ix1.....Xj] точек из M называется
времениподобной цепью из р в q, если р < X1 С • • •« Xj < q.
Следующая лемма вытекает из существования выпуклых нормальных окрестностей (см. разд. 2.2), компактности J+ (р) f| П J~ (q) в глобально гиперболическом пространстве-времени и теоремы 5.1.
Лемма 9.34. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое пространство-время с фиксированной глобально гиперболической функцией времени /: M -»- ik. Пусть р, q ? M и связаны отношением р С q. Тогда существует набор , ..., tk\, для которого f (р) < < tl <• • ¦ < th < f (q), со следующими свойствами:
(1) Если X ? f~l (/ (р), I1J и р < х, то существует единственный максимальный направленный в будущее непространственно-подобный геодезический сегмент из р в х.
(2) Для каждого і, 1 < і < k — 1, из условий х ? f'1 (,',-), У 6 Г1 (U> up*cx*cy<.q вытекает существование единственного максимального направленного в будущее непространственноподобного геодезического сегмента из х в у. 9.2. Пространство времениподобных путей
255
(3) Если у ? f~l Itk, f (q)) и у < q, то существует единственный максимальный непространственноподобный геодезический сегмент из у в q.
(4) В частности, если \xlt xk\ —произвольная времениподобная цепь из р в q, подчиненная условию Xi /^1 (/;), і = = 1, ..., k, то существует единственный максимальный направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент, соединяющий р с X1, xh с q и Xi с xi+1 для каждого і, 1 < і < k — 1.
Вследствие того что точки р, q ? М, связанные отношением р + q, считаются заданными, можно зафиксировать набор ^1, ..., th\, удовлетворяющий условиям леммы 9.34. Обозначим через Si поверхность Коши: Si = /^1 і = 1, ...,к. Теперь мы можем определить пространство M{p,q) ломаных времениподобных геодезических, чтобы аппроксимировать C{Pi(l) с точки зрения функционала длины дуги.
Определение 9.35. Пусть M{fKq) —пространство всех непрерывных кривых у: [0, 1 ] -V М, у которых у (0) = р, у (1) = q, у (i/(k + 1)) G Si и 7 I li/(k + 1), (І + 1)/(* + 1)] — направленная в будущее времениподобная геодезическая, где і = 0, 1, ..., k.
Так как каждая у | [il(k + 1), (і + 1)/(& + 1)], согласно лемме 9.34, должна быть единственным максимальным сегментом, соединяющим собственные концевые точки, то
М(Р. Q) = К*1. •••> xk) : Xi Є Si для I < і < k и
р +X1, Xi + хг+1 для каждого і, 1 < і < k - - 1, и Xk ^q]. (9.21)
Поскольку множества хронологического будущего и прошлого открыты, множество М(р> определяемое правилом (9.21), является открытым подмногообразием произведения S1 X • • • X Sk. Пусть яг: М(Рш q) -*- Si —отображение проектирования, заданное правилом Я; (х1; ..., Xft) = хг, і = 1, ..., k. Из того, что I+ (р) П (q) в силу глобальной гиперболичности M имеет компактное замыкание и (M{Prq)) с= I+ (р) f| I~ (q), вытекает, что яг (М(р ?)) имеет компактное замыкание в Si для каждого і = = 1, 2,' ..., k.
Не уменьшающую длину ретракцию С{РгЯ) на M(P,q) можно получить аналогично тому, как это делается в римановой теории Морса (см. Милнор (1966, с. 102)).
Предложение 9.36. Существует ретракция Qx, 0 < 1K < 1, пространства C{p,q) на M(p,q), не уменьшающая лоренцеву длину дуги.
Доказательство. Пусть у ? Cip, q) произвольна. Можно считать, что 7 параметризована так, что / (7 (i)) = t, где /: M -> R — 256 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Рис. 9.2. Кривая Q^ (у) используется в доказательстве предложения 9.36 для аппроксимации заданной кривой у.
глобально гиперболическая функция времени, зафиксированная в лемме 9.34. Таким образом, у: [f (р), f (q) ] М. Для каждого 1K ? [0, 1] определим Qk (у): If (р), f (q)]M по следующему правилу. Положим ? = (1 — f (р) + U (q), to = / (р) и tk+1 = = f (q). Если ? удовлетворяет соотношению Z; < ? < t-l+l для некоторого і, 0 < і е k, возьмем за Qx (у) единственную ломаную, звеньями которой являются времениподобные геодезические, соединяющие точку P су (Z1), у (Z1) с у (Z2), ..., у (tг-1) с у (Z;) и У (tj) С у (?) соответственно ДЛЯ Z <? ?, И ПОЛОЖИМ Qx (y) (Z) = = y (Z) для Z S3 ? (рис. 9.2).
