Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Как и в римановой теории, теперь при помощи предложения 9.16 возможно доказать лемму Гаусса. Но сначала необходимо 238 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
ввести иа T0 (TpAl) естественное скалярное произведение (( , )), используя для этого заданную на TpM лоренцеву метрику ( , ) и канонический изоморфизм.
Определение 9.17. Скалярное произведение (( , )): T0(TpM) х X T0 (TvM) -> R, ассоциированное с лоренцевой метрикой ( , ) для M задается по правилу ((а, Ь)) —- (т~\а), тZ1(Ь)) для любых а, Ъ Є T0 (TpM).
Теперь мы готовы доказать следующее утверждение.
Теорема 9.18. (лемма Гаусса). Пусть v ? TvM—касательный вектор в области определения экспоненциального отображения и a: - = tB (v) t Tv(TpM). Тогда для любого b ? Tv(TvM) им еем
{{а. Ь))=-- (ехр;,,«, ехрг./>). (9.12)
Таким образом, экспоненциальное отображение является «ра-диальной изом emрней».
Доказательство. Если ср (/) = tu, то а — ср' (1). Если с — геодезическая, с (t) ¦--- ехрр (tv) -- ехрр о ср (t), то ехрг, а — с' (1). Положим w: — Tj1 (b) f TpM. Пусть Y — однозначно определенное якобиево поле вдоль с, у которого Y (0) — 0 и Y' (0) — w. Согласно предложению 9.16, мы знаем, что Y (t) -• exp,,t (/тivw). В частности, Y (1) = exprt (tvw) ехрг< (Ь).
Из определения 9.17 получаем, что ((о, b)) = (тй1 (a), Tj1 (Ь)) — ~ (v, w). Следовательно, лемма Гаусса будет доказана, если мы покажем, что (v, w) — (с (1), Y (1)). Но по лемме 9.9 функция / (t) = (с (t), Y (t)) — at + ? для некоторых постоянных а, ? ^ R. Из того, что Y (0) = 0, вытекает, что ? = 0 и / (t) — = tf (0) =- t (с. (0) Y (0)) =-- t (и, w). В частности, (c' (1), Y (1)) = = / (1) ~ w)< как и требовалось. ?
Лемма Гаусса имеет интересные геометрические следствия. Доказательство этих следствий, которые можно провести в полной аналогии с соответствующими доказательствами Громола, Клин-генберга и Мейера (1971, с. 156—159) (см. Бёлтс (1977, с. 75—77), будут опущены. У Пенроуза (1972а, с. 53) вместо леммы Гаусса используется синхронная координатная система.
Следствие 9.19. Пусть U —выпуклая нормальная окрестность в М, а с: 10, 1 ] -> U — направленный в будущее времени-подобный геодезический сегмент, идущий из р = с (0) в q = с (1) в U. Тогда если ?: [0, 1 ] -> U — любая направленная в будущее времениподобная кусочно-гладкая кривая из р в q, то L (?) < < L (с) и L (?) < L (с), если ? нельзя получить из с перепараметризацией. 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
239
Основная идея доказательства состоит в том, что ввиду выпуклости U кривые ?nc можно поднять до лучей ?: [О, П -> TpM, с: 10, 1 I TpM, где с (i) = і с' (0). Затем для сравнения ?' = = ехр„, о ? и с' = ехрР| о с, а следовательно, и длин кривой ? и геодезической с можно применить лемму Гаусса.
Другая формулировка следствия 9.19, также приведенная у Бёлтса (1977, с. 75—77)), такова.
Следствие 9.20. Пусть v Q TpM—времениподобный касательный вектор в области определения ехрр и ср: [0, 1 ] -> TpM, ф (i) = tv, — кривая. Пусть далее i|j: [0, 1 ] -> TpM — кусочно-гладкая кривая, такая, что г|з (0) =- ф (0), г|з (1) = <р (1) и ехрр о о гр: [0, 1 ] -> M является направленной в будущее непростран-ственноподобной кривой. Тогда L (ехр о гЬ) < L (ехр о ф) и, более того,
L (ехр о г|)) < L (ехр о q<)
при условии, что существует t0 Q (0, 1), для которого компонента b вектора г|/ (t0), ортогональная вектору Tt^ {Л)) (і|з (^0))/Цф (t0) |, не переводится в нуль отображением ехрР|.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы показать, что если времениподобный геодезический сегмент с не имеет сопряженных точек (вспомните определение 9.3), то длина сегмента с является локальным максимумом.
Предложение 9.21. Пусть с: [a, b] -> M — направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент без сопряженных точек и ос: [a, b ] х (—є, є) -> M —любая собственная кусочно-гладкая вариация сегмента с. Тогда существует положительная постоянная б > 0, такая, что соседние кривые ocs: [а, b] -> М, задаваемые по правилу ocs (t) ос (t, s), удовлетворяют неравенству L (as) < L (с), справедливому для всех s, подчиненных условию ISJ < б. Если же 0 < |s| < б и кривую ocs нельзя получить из с простой перепараметризацией, то L (ocs) < L (с).
Доказательство. Перепараметризуем ос в вариацию ос: Г0, ? J ;< X (—є, є) -> М. Согласно лемме 9.7, найдется E1 > 0, такое, что все соседние кривые as вариации ос | [0, ? ] х (—E1, E1) времениподобны. Поэтому можно ограничить внимание рассмотрением а I [0, ? ] X (—еь E1).
Положим р = с (0). Пусть ф: [0, ? ] -> TpM — луч ф (t) — = tc' (0). Ввиду ТОГО ЧТО у С нет сопряженных точек, ехрр имеет в ф (t) Q TpM максимальный ранг для любого t Q [0, ?l. По теореме об обратной функции существует окрестность ТОЧКИ ф (t) в TpM, которую ехрр диффеоморфно отображает на окрестность точки с (t) в М. В силу того что ф ([0, ? ]) компактно в TpM1 можно найти конечное разбиение 0 = t0 < Z1 < ... < th = ? 240 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
и окрестность Uj zd ф ([Л, tJ+1]) в TpM, где / = 0, 1, ..., k — 1, такую, что hj = ехрр | Uj-. Uj -> M является диффеоморфизмом окрестности Uj на ее образ. По непрерывности можно найти постоянную bj > 0, для которой a (Itj, tj+1]) х (—-6У, б}) (expp(Uj), где / = 0, 1, ..., k — 1. Положим б = min ..., 6h}.
