Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Так как Z1 — пространственноподобное векторное поле, гладкое, всюду, кроме точек Ii, и ф (t) > 0 при t ?= {01, то Y" (t) + R (Y (t), с' (t)), с' (t) — 0, если t ?= jtj}. Таким образом, Y — кусочно якобиево поле, и формула (9.10) сводится к следующей:
ЦУ, Z) = kIl (Atj(Yr), Z(U)). (9.11)
Вспоминая, что (Atj (У), с' (0)) - 0 для каждого /, можно построить векторное поле Z2 ? VJ (с), у которого Z., (0) — Ai (У) для г = 1, ..., k — 1. Тогда будем иметь
0 = / (У Z2)= ? J А, (У) f.
i=i11 1 11
Из того, что все касательные векторы в этой сумме иростран-ственноподобны, вытекает, что At. (У) =- 0 для і — 1, ..., k — 1. Это означает, что У не имеет разрывов в точках 0-- Вследствие того что для любого t ? [а, Ь] существует единственное якобиево поле вдоль с, для которого Y (0 — V, У (0 ~ w, получаем, что требуемое гладкое якобиево поле получается, если собрать вместе якобиевы ПОЛЯ YI Iti, 0+1 1. П
Ввиду предложений 9.12 и 9.13 не вызывает удивления тот факт, что отрицательную определенность лоренцевой индексной формы следует связывать с отсутствием сопряженных точек в точности так же, как положительная определенность римановой индексной формы гарантируется отсутствием сопряженных точек 236
Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
(Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 164)). Отрицательная полуопределенность индексной формы в отсутствие сопряженных точек доказана Хокингом и Эллисом (1977, лемма 4.5.8). Бёлтсом (1977, предложение 4.4.5) и Бимом и Эрлихом (1979в, с. 376) было замечено, что отрицательная определенность индексной формы в отсутствии сопряженных точек «алгебраически» вытекает из полуопределенности так же, как и в доказательстве положительной определенности для римановой индексной формы. Чтобы привести доказательство отрицательной полуопределенности лоренцевой индексной формы в отсутствие сопряженных точек, нам необходимо получить лоренцевы аналоги нескольких важных результатов из римановой геометрии (см. Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 151, 155—158)).
Для удобства конструирования якобиевых полей полезно ввести некоторые обозначения для отождествления касательного пространства Tv (TpM) с самим TpM при помощи «параллельного переноса в TpM».
Определение 9.14. Для любых заданных р ? M и v { TpM касательное пространство Tv (ТрМ) к касательному пространству TpM в V задается по правилу
Tv (Tp Vf) = {cp;„: R -*ТРМ\,
где
ср№ (t) = V + tw.
Тогда Tv (TpM) интуитивно можно отождествить с TpM путем отождествления образа отображения ф,„ в TpM с вектором w. Более формально, пусть на R задана стандартная карта многообразия: х (г) = г для всех г ? R, т. е. X = id. Тогда д/дх — векторное поле на R. Поскольку ф,„: R ->• TpM и фш (0) = v, имеем фц,*: T0R ->• T0 (TpM). Теперь можно дать следующее определение.
Определение 9.15. Канонический изоморфизм т0: TpM -> Tv х X (TpM) задается по правилу
т0 (w) : = фа,, -Jr о = ф' (0),
где
Фа- (0 = f + tw.
В частности, пусть v — O1, — нулевой вектор в касательном пространстве TpM. Тогда фю: R ->• TpM — кривая фш (t) = tw в T0p (ТрМ), и мы получаем, что т0р (w) = фш. Поэтому T0p (TpM) часто канонически отождествляют с самим TpM, не делая различия между вектором w ? TpM и отображением фю. Если р ? M 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических 237
и » f TpM, то по определению дифференциала получаем для экспоненциального отображения ехрр: TpM M следующее правило:
exp^: Tv (TpM) ^ТехРр10М. В частности, для v = Op имеем
ехр„ : T0 (TpM)-^TpM,
:Н р
ввиду того что ехрр (Op) = р. Если b = т0; (и) ? T0^ (TpM), а отображение cp: R -> TpM определено по правилу <р (t) — tv, то ехр/П| (b) = ехрг< (ф^д/длг |„), где д.'дх — стандартное базисное векторное поле для TP, определенное выше. Тем самым получим
ехр„, (Ь) = (ехрр, о c,g (-A-J= (ехрр О ([.)* (-J- U = = ЧГ expP ^ I'=0 =
Откуда ехрР| о Tv -- іdг м- Этот факт просто устанавливает,
Op P
что «дифференциал экспоненциального отображения в начальной точке пространства TpM является тождественным отображением».
Следующее предложение показывает, как дифференциал экспоненциального отображения можно использовать для построения якобиевых полей.
Предложение 9.16. Пусть с: [0, Ь] M — геодезическая, у которой с (0) = р, и вектор w ? TpM произволен. Тогда единственное якобиево поле J вдоль с, удовлетворяющее условиям J (0)=0 и J' (0) = w, задается по формуле
/(0 = ехрр< (tXic, (0)W).
Доказательство. Пусть v = с' (0). Можно указать є > 0 так, чтобы была определена гладкая вариация а: 10, b] х (—є, е)-> -> M геодезической с: [0, Ь] -> М, задаваемая посредством формулы a (t, s) = ехрр (i (v + sty)). Из того, что это вариация кривой с, у которой s-параметрические кривые t -*¦ a (t, s) являются геодезическими, вытекает, что векторное поле вариации для этой деформации якобиево. Вследствие того что aj)jds |{<jS) = = ехр„4 (т, {t)+sc,) (к>)), векторное поле вариации есть в точности J (i) = ехрР|. (тtvtw) = ехрр< (titvw). Ввиду того что а(0, s) = = с (0) для всех s, имеем J (0) = 0; путем прямых вычислений получаем второе соотношение J' (0) = w (см. Громол, Клинген-берг и Мейер (1971, с. 151)). ?
