Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Вместо того чтобы работать с функционалом энергии, Уленбек (1975, теорема 4.5) строил теорию Морса для непространственноподобных кривых в глобально гиперболических пространственно-временных многообразиях следующим образом. Выбирая глобально гиперболическое расщепление M = S X (a, b), как в теореме 2.13, Уленбек проектировал непространственноподобные кривые у (t) = (C1 (і), C2 (і)) на второй сомножитель и показывал,
что функционал / (у) = j [c'z^^dt дает теорию индекса.
Следует упомянуть вначале, что теория изотропного индекса в отличие от теории времениподобного индекса интересна только для dim Mj^s 3 по следующей причине. 264 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Лемма 9.45. Никакая изотропная геодезическая ? в произвольном двумерном лоренцевом многообразии не имеет изотропно сопряженных точек.
Доказательство. Пусть ?: (а, b) -> (М, g)—произвольная изотропная геодезическая. Предположим, что J —якобиево поле вдоль ?, удовлетворяющее условию J (tj) = J (t2) = 0 для некоторых tx Ф t2 из (a, b). В точности также, как и в доказательстве леммы 9.9, имеем (/, ?')" = — (R (J, ?') ?', ?') = 0, так что (J (t), ?' (t)) = 0 для всех t ? (a, b). Вследствие того что простран-ственноподобный и изотропный векторы в случае dim M = 2 неортогональны, пространство векторных полей Y вдоль ?, перпендикулярных ?', порождается самим ?'. Следовательно, J (t) = f (t) ?' (t) для некоторой гладкой функции /: (е, b) -> R. Тогда уравнение Якоби принимает следующий вид: 0 = J' + + R (/, ?') ?' = /"?' + fR (?', ?') ?' = /"?'; здесь используется также косая симметрия тензора кривизны по первым двум аргументам. Тем самым /" (t) = 0 для всех t ? (а, Ь). Из равенств J (^1) = J (t2) = 0 вытекает, что / = 0. Поэтому J = O, как и требовалось. ?
Всюду в этом разделе мы будем предполагать, что (М, g) — произвольное пространство-время размерности не меньшей трех (ввиду леммы 9.45) и что ?: la, b] -> M — фиксированный изотропный геодезический сегмент в М. Обозначим через Vх (?) Нелинейное пространство всевозможных кусочно-гладких векторных полей Y вдоль ?, удовлетворяющих условию {Y (t), ?' (t)) = = 0 для всех t G la, Ь]. Тогда и ?' (t), и tp (t) — якобиевы поля в Vх (?). Допустим далее, что мы рассматриваем индексную форму I : V01 (?) X УJ- (?) -> IR, определенную соотношением
I(X1Y) = -I l(X', Y') - (R (X, ?') ?', Y)) dt
по аналогии с индексной формой (9.1) для времениподобных геодезических в разд. 9.1. Тогда А = {/ (t) ?' (t): f : la, b] -> IR — гладкая функция, f (a) = f (b) = 0} является бесконечномерным линейным пространством, в котором I (Y, Y) = Одля всех Y ? А. Поэтому квазииндекс геодезической ?, определенный при помощи индексной формы /: VJ- (?) X F^(?)->R, всегда бесконечен. Кроме того, хотя I (/?', Y) = 0 для любого Y ? FOL (?) и /?' ? А, векторное поле /?' не является якобиевым, за исключением случая f" = 0. Поэтому те свойства, которые мы получили для индексной формы времениподобной геодезической в разд. 9.3, связывающие якобиевы поля, сопряженные точки и определенность индексной формы, не выполняются для /: FJ-(?) х FJ-(?)->R.
Разгадка этих затруднений состоит в том, что и ?', и /?' являются якобиевыми полями в yx(?). Поэтому, пренебрегая век- 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
торными полями в А, можно определить индексную форму для изотропных геодезических, хорошо связанную не только с формулой второй вариации для функционала энергии, но также и с сопряженными точками и якобиевыми полями. Этого можно добиться, работая вместо Vi(P) с факторрасслоением Vx(?)/[?]. Используя это факторрасслоение, можно определить индексную форму I так, чтобы ? не имела сопряженных точек, в том и только том случае, если форма I отрицательно определена (см. Хокинг и Эллис (1977, предложение 4.5.11), Бёлтс (1977, теорема 4.5.5)). Теорему Морса об индексе можно получить также для индексной формы I для изотропных геодезических сегментов в произвольных пространственно-временных многообразиях (см. Бим и Эрлих (1979г)).
Ввиду того что нас интересует исследование сопряженных точек вдоль изотропных геодезических, важно заметить, что лемма 9.9 и следствия 9.10 и 9.11 переносятся на случай изотропных геодезических с теми же доказательствами.
Лемма 9.46. Пусть ?: la, b] -> (M, g) — изотропный геодезический сегмент и Y — произвольное якобиево поле вдоль ?. Тогда (Y (t), ?' (t)) — линейная функция от t. Поэтому если У (k) = У (Q = 0 для различных tlt t2 Q [а, Ь], то (Y (t), ?' (t)) = 0 для всех t Q [а, Ь).
Соответственно мы можем ограничить наше внимание рассмотрением только следующих пространств векторных полей.
Определение 9.47. Обозначим через Vх (?) R-линейное пространство всевозможных кусочно-гладких векторных полей Y вдоль ?, у которых (Y (t), ?' (0) = 0 для всех t Q [а, Ь]. Пусть VJ- (?) = {Г Є Vі (?): Y (a) = Y (Ь) = 0}. Положим далее N (? (0) = = И Tfi (t)M: (V, ?' (0) = 01 и
N(P)= U A^ (? (0)-
Для каждого Y Q V1 (?) векторное поле Y' Q V1 (?) можно определить, используя левосторонние пределы в точности так, как и в разд. 9.1. Ввиду того что ? — гладкая изотропная геодезическая, имеем ?' (t) ? N (? (0) для всех t Q [а, Ь]. Следуя Бёлтсу (1977, с. 39—44), мы построим следующую алгебраическую конструкцию. Так как N (? (t)) является линейным пространством для любого / Q [а, Ь\ и
