Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
27"}
всех s. Поэтому обычно ограничиваются рассмотрением следующего класса вариаций.
Определение 9.58. Кусочно-гладкая вариация а: [а, b] X X (—є, є) -V M кусочно-гладкой непространственноподобной кривой ?: [а, Ы-vM называется допустимой, если все соседние кривые as: [а, задаваемые формулой as (t) = = а (t, s), являются времениподобными для каждого s =й=10*из (— є, є).
Предположим теперь, что для W ? V1 (?) существует допустимая вариация a: [a, b] X (—є, є) -v M с векторным полем вариации a* (d/ds) | </, о> = № (0 для каждого t Є [а, Ь]. Пусть E (Gts) — энергия соседней кривой Gts: [а, b ] M для каждого s ?5 (—є, є). Тогда (d/ds) E (Gts) [ s=0 = О ввиду того, что ? — геодезическая, и
E(CC1) = I(W1W). (9.41)
Так как E (?) = E (а0) = 0, то должно выполняться неравенство ((Plds2) E (as) I s=0 0. Поэтому условие I (W, W) ^ 0 является необходимым для того, чтобы W ? V1 (?) было векторным полем некоторой допустимой вариации а геодезической ?. Заметим, также что если точка изотропного раздела для ? (а) вдоль ? в будущем появляется позже ? (b), то допустимых собственных вариаций геодезической ? не существует (см. следствие 3.14 и разд. 8.2).
Непосредственно из формулы (9.39) вытекает, что если X ? Є ^o" (P) — векторное поле вида X (t) = / (t) ?' (t) для любой кусочно-гладкой функции /: [а, ?>]->- R с условиями /(а) = = /(ft) = 0 и произвольного Y Є JAf (?), то / (X, Y) = 0. Поэтому индексная форма /: (?) X V^ (?) ->- R никогда не может быть отрицательно определенной и, хуже того, всегда имеет бесконечномерное нулевое пространство. Это наводит на мысль, что индексную форму следует спроектировать на G (?) (см. Xo-кинг и Эллис (1977, с. 129), Бёлтс (1977, с. 111)). Напомним, что обозначение Ж (?) было введено для кусочно-гладких сечений факторрасслоения G (?) и Sf0 (P) = {W ? Ж (?): W (а) = [?' (а)], W (b) = [?' (Ь)Ц.
Определение 9.59. Индексная форма I: Ж (?) X Ж (?) -v R задается формулой
7 (V, W) = - J^=a [і (V, W) - g (R (V, ?') ?', W)] dt (9.42)
где V, W ? Ж (?), a g, R и ковариантная производная сечений факторрасслоения G (?) задаются формулами (9.31), (9.34) и (9.32) соответственно, 274 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Так же как и в случае индексной формы I: У1 (?) X Vl (?) -v -->¦ R, интегрируя в формуле (9.42) по частям, получаем соотношение
7 (У, W) = J [ g (У" + R (У, р') р', W) dt +
(9.43)
g(W(ij), A0(V)),
/=о
где разбиение a = t0 < tx <¦ • •< tk = b выбрано так, что У I [ti, является гладким для і — 0, 1, ..., k. В частности, если У — гладкое сечение G (?), то
ь
7 (У, 1Г) = -І(У, W)(a + |?(У"+?(У, P')P', W)dt, (9.44)
а
и если У — якобиев класс в Ж (?), то
7 (У, №) = -і"(У\ W)\i (9.45)
Из того, что векторные поля вида / (t) ?' (t) располагаются в нулевом пространстве формы I: V1 (?) X F1 (?) R1 для любых X, Y ? V1 (?), подчиненных условиям я (X) = У и я (Y) = W, вытекает, что
7 (У, W) = / (X, Y), (9.46)
где индекс в левой части равенства вычисляется в Ж (?), а в правой — в V1 (P).
В разд. 9.1 мы видели, что для времениподобных геодезических сегментов нулевое пространство индексной формы состоит из гладких якобиевых полей, обращающихся в нуль в обеих концевых точках. Сейчас мы докажем аналогичный результат для индексной формы 7 на фактор пространстве Ж0 (?) для произвольного изотропного геодезического сегмента ?: [a, b ] —М.
Теорема 9.60. Для кусочно-гладких векторных классов W ? ? X0 (?) следующие высказывания эквивалентны:
(а) W — гладкий якобиев класс в Ж0 (?).
(б) 7 (W, Z) = 0 для всех Z ? Ж о (Р).
Доказательство. Из формулы (9.45) ясно видно, что (а) влечет за собой (б). Чтобы показать, что (б) влечет за собой (а), зафиксируем единственное кусочно-гладкое векторное поле Y в геометрической реализации У (?) для G (?), задаваемой соотношением (9.28), с я (Г) = W и Y (a) = Y (b) = 0. Пусть a = ta <t г< < ... < th = b — конечное разбиение отрезка [a, b], такое, что Y I [tj, ^1] — гладкое поле для / =0, 1, ..., k— 1. Пусть далее р: la, — гладкая функция, у которой р (tj) =0 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
для каждого /, 0 « / с k, и р (t) > 0 во всех других точках. Положим Z = я (р (У" + R (У, ?') P')) G X0 (P). Тогда из соотношения (9.43) получаем, что
О = F(W, Z) = \bt=a9 (t)g{W + R (W, P') P', W +
+ R (W, ?')?')M*.
Вспоминая, что метрика g положительно определена (см. замечание 9.48), получим, что W" (t) +1{ (W (t), P' (0) P' (t) = [?' (t) 1, за исключением, может быть, точек tj. Поэтому W \ [tj, tj+1] является гладким якобиевым классом для каждого /. Чтобы показать, что значения W в точках tj согласуются так, что на всем [а, Ь] возникает гладкий якобиев класс, достаточно убедиться в том, что векторное поле У, представляющее W, в геометрической реализации V (P) является (^-гладким векторным полем. Прежде всего заметим, что гак как равенство W" (t) + R (W (t), P' (0) P' (0 = tP'Wl справедливо всюду, кроме, может быть, точек tj, то, применяя формулу (9.43), получаем, что
