Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Вспомним, что для заданной изотропной геодезической ?: la, b] M было выбрано изотропное векторное поле т), параллельное вдоль ? и такое, что g (т) (Z), ?' (Z)) = —1 для всех Z ? la, b\, а затем были выбраны пространственноподобные поля [E1, ..., Еп_21, параллельные вдоль ? и удовлетворяющие условиям g (Ei (Z), Ej (Z)) =8ииё (Ei (Z), ?' (Z)) = g (Ei (Z), T] (Z)) = 0 для всех і, j и всех Z (j [а, Ь]. Положим E0 = ?'.
(1,1)-тензорное поле A (t) пространства Vj- (?) —это линейное отображение
A=A (t): N (? (t)) -». N (? (t))
для каждого t ? [a, b\. Поэтому, если v ? N (? (t)), то A (t) (v) ? ? N (? (t)). Составной эндоморфизм RA (t): N (? (t)) N (? (Z)) можно определить, полагая
RA (t) (u) = R (A (t) (v), ?' (t)) ?' (Z) € N (? (Z)) (9.47)
для любого V ? N (? (Z)). Тензорное поле A (Z) будет гладким (соответственно кусочно-гладким), если отображения
Z A (Ej) (Z), la, b] -»• V-L (?),
являются гладкими (соответственно кусочно-гладкими) для каждого j =0, 1, ..., п — 2. Записывая
A(E1) (9.48) 278 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
где f), ff. [а, Ъ]R, можно определить (1,1)-тензорное поле A' (t): N (? (t)) -*• N ф (t)) по правилу
A (Ei) = n^(J)YEi і=і
где j = О, 1, ..., п — 2. Отсюда вытекает, что композицию
(1,1)-тензоров можно отождествить с матричным умножением
компонент функций /' и //. Поэтому, если А = A (t) и В = В (t) — (1,1)-тензорные поля вдоль ?, то мы имеем
(AB)' = А'В + AB'. (9.49)
Применяя правило (9.49) к равенству AA"1 = id в случае, если А (t): N (? (t)) N (? (t)) неособенно для всех t, получим следующее правило дифференцирования для неособенных (1,^-тензорных полей:
(А"1)' =— A-1AtA'1. (9.50)
Для построения теории изотропного индекса, однако, нам необходимо рассматривать (1,1)-тензорные поля не на V1 (?), а на факторрасслоении G (?). Для каждого t (j [a, b] (1,^-тензорное поле А = A (t): G (? (t)) ->• G (? (t)) является линейным отображением, которое переводит векторные классы в векторные классы. Применяя к Ж (?) операцию проектирования ковариант-ной производной (см. соотношение (9.32)), мы сможем дифференцировать кусочно-гладкие (1,1)-тензорные поля в G (? (t)) и получим формулы
(AB)' = А'В + AB' (9.51)
и
((ЛГУ = -(A)'M' (А)'1 (9.52)
при условии, что А невырожденно. В силу того что спроектированная метрика g: G (? (t)) X G (? (t)) -*• R положительно определена, можно определить тензорное поле A* =A* (t), сопряженное (1,1)-тензорному полю A (t) для G (? (t)), по формуле
~g(A(W),Z) =g(A* (Z)1W) (9.53)
для всех векторных классов Z, W ? G (? (t)) и Bcejc t ? [a, b\. Можно также определить составной эндоморфизм ЯЛ: G (? (і)) -»• -v G (? (t)) посредством правила
RA (W) = R(A (W), ?') ?', (9.54)
где R — спроектированный оператор кривизны, задаваемый формулой (9.34). відром ker (Л (і)) (1,1)-тензорного поля Л (і): G (? (0) (? (t)) является линейное пространство
ker (Л «)) = {ш 6 G (? (*)): A (t) (W) = I?' (t)}\. (9.55) 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
Если A (t) (w) = [?/ для всех w ? G (? (і)) и всех t (j fa, b], то (1,1)-тензорное поле A (t): G (? (t)) -> G (? (t)) будет нулевым тензорным полем; обозначение A= 0.
Теперь после всех этих вспомогательных приготовлений мы готовы определить якобиевы и лагранжевы тензорные поля.
Определение 9.61. Гладкое (1,1)-тензорное поле A: G (?) -> ->¦ G (?) называется якобиевым, если А удовлетворяет условиям
Л" + ~RA = 0 (9.56)
и
ker (Л (0) fl кег (Л' (t)) = U?' Wll (9.57)
для всех t G [а, Ь].
Условие (9.56) является следствием того, что если F ? Ж (?) — произвольный векторный класс, параллельный вдоль ?, то J -= Л (Y) — якобиев класс вдоль ?. Это вытекает из того, что
J" + R(J, ?') ?' = A" (Y) -+-~RA (Y) = (A" \-~RA) (Y) = O, так как Y' = 0. Условие (9.57) означает, что если F1, ..., F71^2 — линейно независимые параллельные сечения Ж (?), то Л (F1), ... ...,Л (Fn_2) являются линейно независимыми якобиевыми сечениями в следующем смысле. Если A1, ..., >п_2 — вещественные постоянные, для которых
Ем (Yj) (t) =[?' (/)]
/=1
при всех t ? \а, b], то A1 = ... = Хп_2 = 0.
Обращение приведенной выше конструкции можно использовать для доказательства существования якобиевых тензоров. Пусть E1, ..., Еп_2 — пространственноподобные параллельные поля, выбранные в (9.28) и порождающие V (?). Пусть Ej = = я (Ej) — соответствующие параллельные векторные классы в Ж (?). Пусть далее J1, ..., Jn^2 — якобиевы классы вдоль ? с начальными условиями Jі (а) = I?'(/)] и Ji (a) =Ei (а) для і = 1, ..., п — 2. Якобиев тензор Л, удовлетворяющий начальным условиям А (а) =0, Л' (a) = id, может быть определен требованием, что
Ji = A(Ei) (9.58)
для каждого і = 1, ..., п — 2, и по линейности продолжен на все G (?). Из того, что Ji — якобиевы классы, а Ei — параллельные классы в Ж (?), вытекает, что Л удовлетворяет равенству (9.56). Чтобы проверить, что Л удовлетворяет условию (9.57), предполо- 280 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
