Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в теореме 9.41 топология C(P,Q) не связана с исходной топологией многообразия. Но Уленбек (1975, теорема 3) показал для класса глобально гиперболических просранств, удовлетворяющих условию роста метрики (см. Уленбек (1975, с. 72)), что гомотопия самого пространства путей многообразия M может быть вычислена геометрически следующим образом. Пусть (М, g) — глобально гиперболическое пространство-время, удовлетворяющее условию (Уленбека) роста метрики. Тогда существует класс гладких времениподобных кривых у: [0, оо) -> M со следующим свойством. Для каждой такой времениподобной кривой у найдется множество точек р Q M второй категории, такое, что пространство путей многообразия M гомотопно клеточному комплексу с одной клеткой для каждой изотропной геодезической из P В 7, где размерность клетки равна индексу геодезической.
Из доказательства приводимого ниже предложения 9.42 будет ясно, что конечность гомотопического типа времениподобного пространства путей C(PiQ) в теореме 9.41 вытекает из предположения о том, что точки р и q изотропно не сопряжены, и того факта, что L (у) < d. (р, q) < оо для всех у f C(Pt9). С другой стороны, для полных римановых многообразий (N, g0) известно (см. Cepp (1951)), что если N не является ацикличным (т. е. H1 (N, Z) ф О для некоторого і > 0), то пространство путей ЦРі17) является бесконечным клеточным комплексом для всех р, q Q N. Поэтому, 262 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
если р и q не сопряжены, то существует бесконечно много геодезических {сп: [0, 1 ] -> N\ из р в q. Из того, что р и q не сопряжены и из неравенств L0 (у) d0 (р, q) > 0, справедливых для всех
У ? Q(p,q), ВИДНО, ЧТО L0(Cn)-VOО при П -> OO.
Для полноты изложения мы приведем сейчас другое доказательство предложения 9.38 — о существовании лишь конечного числа критических точек у функционала L: С(р, q) -> М. Вместо того чтобы применять T конечномерную аппроксимацию пространства С(Ру„) множеством MiPtQ), мы будем работать непосредственно с C(P,Q), пользуясь, как и в разд. 2,3, существованием непространственноподобных предельных кривых.
* Предложение 9.42. Пусть** (М, g) глобально гиперболично. Предположим, что точки р, q (J М, р С q, выбраны так, что не существует направленной в будущее непространственноподобной геодезической, вдоль которой они были бы сопряжены. Тогда найдется лишь конечное число времениподобных геодезических, идущих из р в q.
Доказательство. Предположим противное: найдется бесконечно много направленных в будущее времениподобных^геодези-ческих сегментов сп: [0, 1 ] -»- M в пространстве С(р>?). Используя следствие 2.19 и рассуждения из разд. 2.3, получим непространственноподобную геодезическую с: [0, 1 ] -> М, с (O) = р, с (1) = = q, которая является предельной кривой последовательности |сп} и такова, что подпоследовательность последовательности |сп| сходится ксв С°-топологии на кривых. Так как подпоследовательность попарно различных касательных векторов \сп (0)} сходится к с'(0), то q сопряжена р вдоль с в противоречие с условием. П
Предположим, что в условиях предложения 9.42 сделано следующее допущение: точки р и q не сопряжены лишь временипо-добно. Если найдется бесконечно много времениподобных геодезических |сп} в пространстве Cip, q), то мы получим тогда, что L (cn) -V О при п -> оо, и предельная кривая с в доказательстве предложения 9.42 является изотропной геодезической, так что q сопряжена р вдоль с. В частности, с содержит точку изотропного раздела в будущем для р (см. разд. 8.2). Поэтому и теорема 9.41, и доказательство предложения 9.42 приводят к следующему результату, который применим, в частности, к космологическим моделям Фридмана с р = A = O.
Следствие 9.43. Пусть (М, g) глобально гиперболично, а точки р, q ? M выбраны так, что р q, р и q времениподобно не сопряжены и множество изотропного раздела в будущем для точки р в M пусто. Тогда существует лишь конечное число времениподобных геодезических из р в q. 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
Доказательство. Если бы существовало бесконечно много времениподобных геодезических, идущих из р в q, то из р в q выходила бы изотропная геодезическая с, такая, что q была бы сопряжена р вдоль с. Но тогда с содержала бы точку изотропного раздела вдоль с в будущем, что противоречит условию. ?
Если dim M = 2, то {М, g) не содержит изотропных сопряженных точек (см. лемму 9.45). Поэтому имеет место следующий результат.
Следствие 9.44. Пусть (М, g) — произвольно двумерное глобально гиперболическое пространство-время, а точки р, q fM выбраны так, что р q и р и q времениподобно не сопряжены. Тогда найдется лишь конечное число времениподобных геодезических, идущих из р в q.
9.3. Теория Морса для изотропного индекса
Этот раздел посвящен доказательству теоремы Морса об индексе для изотропных геодезических сегментов ?: [0, 1 ] -> M в произвольном пространстве-времени. Подходящей индексной формой, однако, является здесь не стандартная индексная форма, определенная на кусочно-гладких векторных полях, ортогональных ?', а ее проекция на факторрасслоение, образованное путем отождествления векторных полей, отличающихся на кратное ?'. Идея использовать факторрасслоение в качестве области определения изотропной индексной формы неявно содержится в рассмотрении вариации длины дуги изотропных геодезических у Xo-кинга и Эллиса (1977, разд. 4.5) и была развита в дальнейшем Белтсом (1977). В первой части этого раздела основная теория индексной формы разрабатывается в соответствии с гл. 2 и 4 из книги Белтса (1977). Во второй части мы приводим подробное доказательство теоремы Морса об индексе для изотропных геодезических, краткое изложение которого имеется в работе Бима и Эрлиха (19796).
