Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Г))|<,о,0)=2/'(/0)>0
в противоречии с равенством (9.65). Тем самым в качестве первого необходимого условия того, чтобы а была допустимой вариацией геодезической ?, получаем, что
g (V, T) о) = 0 (9.66)
для всех t (j [0, 1]. Поэтому V (j Vj- (?). Следовательно,
4-(SCГ, 7-))1(,. 0) = 2^-(?(У, Г))|(, ,0) = 0 (9.67)
для всех t ? [0, 1]. Из соотношения (9.67) вытекает, что соседние кривые вариации должны быть времениподобными при условии, что поле вариации удовлетворяет равенствам (9.66), (9.67) и условию (dW) (g (Т, T)) |(,, о) < —с < 0 для всех t ? (0, 1). Как и выше,
4 (g (Т T)) = 2^- (g (V, T)) - 2g (V, VdfdtT). Следовательно,
~(ё(Т T)) |w.o, = 24[4(g(K, Г))]
- 2g (Vd/dsV, VdmT) Iit, о) - 2g (V, Vdfds VdfdtT) |(,, о,-
Используя тождество R (V, Т) T = Vdfds VdfdtT — Vdfdt VdfdsT = = Vdfds VdfdtT — Vdfdt VdfdtV и равенства VdfdtT\u, 0) -- Vdfdt^>' |, = = 0, получим, что
(Т, T)) У, 0) = 2 ± [g(VdfdsV, T) + g(V, VdfdsT)] lu, о> —
-2g(V, VdidtVdidtV +R {V, T)I) |(1>o)=2^-[g(Va/a.V, T) + + g(V, VdidtV)] |(/> о) - 2g (V, Vdfds VdfdtT) о).
Проведенные вычисления позволяют сформулировать следующую лемму.
и, 0) 286 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Лемма 9 J\SДостаточное условие того, чтобы кусочно-гладкая вариация а: [О, 1 ] X (— є, є) -> M изотропной геодезической ?: [О, 1 ] —> M была допустимой вариацией [т. е. кривые as (t) = — a (t, s) времениподобны при s Ф 0) для всех достаточно малых s Ф О, состоит в том, что векторное поле вариации V (t) = = a, (d/ds) 1(^, о) удовлетворяет"следующим соотношениям:
g(V(fl, ?' (0) =O для всех t Q [О, 1], (9.68)
(g (Т, T)) \ t, 0) = 0 для всех t Q [О, 1], (9.69)
-^{gtfo/osV, ?') + g(V, Г)] 1(/.0)-
- g (V, V" + R (V, ?') ?') I, < - с <0 (9.70)
для всех t (j (0, 1), в которых V является гладким.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать требуемый результат (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 130)).
Теорема 9.72. Пусть ?: [0, 1 ] -> M — изотропная геодезическая. Если для некоторого t0 (j (0, 1) точка ? (t0) сопряжена ? (0) вдоль ?, то существует времениподобная кривая из ? (0) в ?(l).
Доказательство. Будем предполагать, что ^0 > 0 ¦— первая точка, сопряженная ? (0) вдоль ?. Достаточно показать, что для некоторого t2, подчиненного условию ^0 < t2 « 1, существует направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из ? (0) в ? (i2), так как тогда мы имеем: ? (0)*< ? (t,) < ? (1) и, значит, ? (0) < ? (1). Таким образом, времениподобная кривая из ? (0) в ? (1) существует.
Поскольку точка ? (If0) сопряжена ? (0) вдоль ?, существует гладкий нетривиальный якобиев класс W Q Ж (?), для которого W(O) = [?' (0)] и W (t0) = [?'(*<>)]. Справедлива {следующая формула:
W (t) = / (t) W (t), (9.71)
где W — гладкий векторный класс вдоль ? с условием, что g (W, W) = 1 и /: [0, 1 ] R — гладкая функция. Ввиду того что ^0 — первая сопряженная точка вдоль ? и / (0) = / (t0) = 0, изменяя, если необходимо, 'W на —W, можно считать, что f (t) >0 для всех t (j (0, t0). Из того, что W — нетривиальный якобиев класс и W (t0) = [?'(^o)], имеем W (t0)Ф f?' ^o)]. Поэтому из формулы W' (t0) =/' (to) W (to) + f (to) W (to) =/' (h) W (tt) вытекает, что f'(to) Ф 0. Таким образом, можно выбрать tx ? (to, 1 ] так, что WftO ф [?' (t) 1 и f (t) < 0 для всех t Q (<„, fe].
Покажем теперь, что существует t2 ? (to, ^], где 4 выбрано выше, для которого можно найти допустимую вариацию а: 10, 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
Z2I X (—є, є) M геодезической P I [0, Z2]. Тогда соседние кривые as вариации а для s Ф 0 будут времениподобными кривыми из ? (0) в ? (Z2). Но это означает, что ? (0) <С ? (1), как и требовалось. Продеформируем для этого W I 10, Z1] в векторный класс Z I [0, Z2 ], удовлетворяющий условию g (Z, Z" + R (Z, ?') ?') >
> 0, так, что если Z ? V1 (?) —¦ соответствующее поднятие Z ? Є Ж (? I 10, Z2]) и а — вариация геодезической ? | [0, Z2 ] с векторным полем вариации Z, то условия (9.69) и (9.70) леммы 9.71 будут выполнены.
Рассмотрим векторный класс вида
Z(t) = 1Ь(е°<-1) + /(Z)] W (Z),
где b = —/ (Z1) (eati — I)-1 ? R и а > 0 выбрано в R так, что (a2 + inf \h (Z): t ? [0, fj}) > 0,. где
ft (Z) =g(tT" + ? (ІГ, ?') ?', W) |t. Так как W — якобиев класс, то
0 = g(W" + R(W, ?')?', W)=f" + 2f'l(W', W) +fg(W", W) -f
+ /g(W РЖ W)=r + 2f'g(W', W) + fh.
Из того, что g (W', W) = (1 /2) (g (W, #))' =0, получаем формулу /" = —fh. Возвращаясь к рассмотрению векторного класса Z, заметим сначала, что за счет выбора постоянных а и b выполнены равенства Z(O) = t?'(0)] и Z(Z1) = I?' (Z1) ]. Ввиду формулы (9.70) хотелось бы иметь также g (Z, Z" + R (Z, ?') ?') >
> 0. Полагая г (t) = b (eat — 1) + / (Z), вспоминая, что g (W', W) = 0, и дифференцируя, получаем, что g (Z, Z" + R (Z, ?') ?') = = r (r" -(- rh) = r Ibeat (a2 h) — bh + f" + fh]. Из равенства /" = —//г вытекает, что
I(Z, Z"+1?(Z, = +
Так как / (Z1) < 0, то b = —/ (Z1) — 1) >0. Поэтому выражение b \eat_[a?_+ /г (Z) ]_— /г (Z) ] >0 для всех Z ? [0, Z1 ]. Таким образом, g (Z, Z" + ^ (Z, ?') ?') > 0 при условии, что г (Z) > 0. Ввиду того что f (t) >0 для Z € (0, Z0), имеем г (Z) > 0, где t Є ? (0, Z0]. В силу непрерывности существует такое Z2 > Z0, что г (Z) >0 для Z ? IZ0, Z2) и г (Z2) = 0. Если Z2 5s Z1, то фактически Z2 = Z1 вследствие того, что г (Z1) = 0 по построению. Поэтому ниже мы будем предполагать, что Z2 = Z1. Если Z2 < Z1, то векторный класс Z I [0, Z2I будет удовлетворять условию Z(Z2) = = j_?' (Z2) ] ввиду того, что г (Z2) = 0 и, кроме того, g (Z, Z"+ + R (Z, ?') ?') |t > 0 для всех Z Є (0, U). Далее будем рассматривать ?| [0, Z2 ]. 288 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
