Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/~(<р(Г), ф (W)) >7(W, W), (9.76)
если W ? Ж0 (?), W ф 7 {tj\. Используя неравенство (9.76), можно показать так же, как и в доказательстве леммы 9.26 разд. 9.1, что
Если А — подпространство X0 (?), на котором
форма / j А X А положительно полу опре- (9.77)
делена, то отображение ф: А / {Z^ инъективно. 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
Пусть Ind' (?) и Ind0 (?) — соответственно индекс и квазииндекс индексной формы 7: J \ t}\ X J \ tj\ R, ограниченной на 7 {(;}. Допустим, что А — подпространство X0 (?), на котором форма /1А X А положительно полуопределена. Применяя неравенство (9.76), легко убедиться в том, что форма 7: J {^} X X J \ tj\ -у R положительно полуопределена на подпространстве Ф (А) из 7 \ t}\. Согласно свойству (9.77), dim А = dim ф (А). Следовательно, Indo (?) Ind0 (?). С другой стороны, так как J с= X0 (?), то Ind0 (?) < Ind0 (?). Таким образом, Ind0 (?) = = Ind0 (?). Аналогично доказывается равенство Ind' (?) = = Ind (?). Поскольку 7 \ tj\ конечномерно, из этих равенств следует конечнозначность Ind (?) и Ind0 (?).
Остается показать, что Ind0 (?) = Ind (?) + dim Jb (?). Выберем для этого второе конечное разбиение a = S0 << S1 < ... < < s,_! < Si = Ь так, чтобы {sb ..., Sui] f) 4-і} =
= 0 и для каждого і геодезическая ? | [s;-, Si41 ] не имела сопряженных точек. Тогда J {s;-} f] J {(/} = 7Ь (?). Поэтому, если X Є 7 {s,-}, X ф Jb (?), то из неравенства (9.76) вытекает, что
7 (ф (X), ф (X)) > 7 (X, X). (9.78)
Согласно первой части доказательства этого предложения, примененной к разбиению {Sj}, и связанному с ним конечномерному линейному пространству 7 js*}, можно в J \st\ выбрать линейное подпространство В'0 так, что форма 7 | В'0 X В'0 будет положительно полуопределена и Ind0 (?) = dim?0< оо. Заметим, что Jb (?) должно быть подпространством пространства В'0. Если бы это было не так, то существовало бы нетривиальное линейное подпространство V с= Ib (?), для которого V D B'Q = {I?'И-Тогда В"0 = Bq © V было бы подпространством пространства J jsj}, на котором форма / | В"0 X Bq была бы положительно полуопределена. Но dim В"0 >dim?0, что противоречит нашему выбору В'0.
Если рассматривать В'0 как подпространство X0 (?), то из свойства (9.77) можно заключить, что ф | В'0: Bq-+ 7 \tj\ инъек-тивно. Поэтому, если положить B0 = ф (Bq), то получим, что dim B0 = dim В'0 = Ind0 (?). Из того, что ф | Ib (?) = id, имеем также, что Jb (?) — подпространство B0. Выберем линейное^подпространство В пространства B0 так, чтобы B0 = BQJb (?). Используя неравенство (9.78), можно доказать в точности так же, как и при доказательстве предложения 9.22 из разд. 9.1, что 10* 292 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
форма І \ В X В положительно определена. Следовательно, Ind' (?) S== dim В.
Но Ind0 (?) = Ind0 (?) = dim B0 = dim В + dim Jb (?). Поэтому доказательство будет завершено, если мы покажем, что Ind' (?) с dim В. Предположим, что В' — подпространство J \tj\, для которого форма 7 | В' XB' положительно определена и В' П ЛФ) = {t?'ll- Так как форма Г\В' X В' положительно определена, то Ind' (?) = dim В' >dim В. Следовательно, форма / на прямой сумме В' © Jb (?) является положительно полуопределенной, так что dim В' + dim Jb (?) < Ind0 (?). С другой стороны, dim В' + dim Jb (?) > dim В + dim Jb (?) = = Ind0 (?), что противоречит предыдущему неравенству. Таким образом, Ind' (?) < dim В, как и требовалось. Доказательство предложения завершено. ?
Теперь после того, как предложение 9.76 доказано, непосредственно видно, что доказательство теоремы 9.27 из разд. 9.1 применимо к индексной форме 7: G (?) X G (?) R и спроектированной положительно определенной метрике g, что дает равенства
Ind (?) = ? dim (?)
t € (а, Ь)
и
Ind0(P)= ? dim Jt (?).
<Є(а,г>]
Поскольку dim Jt (?) = dim Jt (?) согласно следствию 9.55, мы убедились таким образом в справедливости следующей теоремы Морса об индексе для изотропных геодезических.
Теорема 9.77. Пусть ?: [a, b] M —• изотропная геодезическая в произвольном пространстве-времени. Пусть I: X0 (?) X х (?) R — индексная форма на кусочно-гладких сечениях фактор расслоения G (?), определенная формулой (9.42). Тогда ? имеет лишь конечное число сопряженных точек и индекс Ind (?) и квазииндекс Ind0 (?) формы I: X0 (?) X X0 (?) R связаны с геодезическим индексом изотропной геодезической ? по формулам
Ind (?)= 2] dim Jt (?)
< €(0.6)
и
Ind0 (?) = ? dim Л (?),
/€ (о, 6]
где Jt (?) — линейное пространство якобиевых полей Y вдоль ?, удовлетворяющих условию Y (a) = Y (Ь) = 0. Глава 10
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ГЛОБАЛЬНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ
В этой главе мы применим технику, развитую в предыдущих главах, к доказательству лоренцевых аналогов двух замечательных результатов глобальной римановой геометрии. Первый из них, теорема Бонне — Майерса о диаметре, утверждает, что если полное риманово многообразие N имеет всюду положительную отделенную от нуля кривизну Риччи, то N компактно, имеет конечный диаметр и конечную фундаментальную группу. Второй результат, теорема Адамара — Картана, состоит в том, что если полное риманово многообразие имеет всюду неположительную секционную кривизну, то его универсальное накрывающее многообразие диффеоморфно Rn и, значит, высшие группы гомотопии 31I (N, *) = 0, где і 2. Кроме того, универсальное накрывающее пространство с римановой метрикой расслоенного произведения имеет следующее свойство: любые две точки можно соединить ровно одной (с точностью до перепараметризации) геодезической.
