Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 125

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 167 >> Следующая


В разд. 10.1 мы рассмотрим лоренцев аналог теоремы Бонне — Майерса и в ходе этого рассмотрения изучим времениподобный диаметр пространства-времени. Времениподобный диаметр di am (M, g) пространства-времени (М, g) задается формулой

diam (М, g) = sup jd (р, q): р, q ? М\.

Классы пространств с конечным времениподобным диаметром, включая «вселенные Уилера», уже изучались в общей теории относительности (см. Типлер (1977в, с. 500)).

Если полное риманово многообразие имеет конечный диаметр, то по теореме Хопфа — Ринова оно компактно. И как следствие метрической полноты все геодезические имеют бесконечную длину. Но для пространства-времени (М, g), поскольку L (у) с С d (р, q) для всех направленных в будущее непространственноподобных кривых у, идущих из р в q, каждая времениподобная геодезическая должна удовлетворять неравенству L (у) < < diam (M, g). Поэтому, если пространство-время имеет конечный времениподобный диаметр, то все времениподобные геодезические имеют конечную длину и, значит, неполны. В частности, 294

Гл. 10. Некоторые результаты

пространство-время (M, g) с конечным времениподобным диаметром является времениподобно геодезически неполным.

Ввиду того что мы используем для лоренцевой метрики соглашение (—, +) (а не (-(-, —, ..., —)), условия положительности (соответственно отрицательности) секционной кривизны для римановых многообразий переходят в условия отрицательности (соответственно положительности) времениподобной секционной кривизны для лоренцевых многообразий.

Используя теорию о времениподобном индексе, развитую в разд. 9.1, получим следующий лоренцев аналог теоремы Бонне — Майерса для полных римановых многообразий. Пусть (M, g) — глобально гиперболическое пространство-время, в котором либо (а) все непространственноподобные кривизны Риччи положительны и отделены от нуля, либо (б) все времениподобные секционные кривизны отрицательны и отделены от нуля. Тогда (М, g) имеет конечный времениподобный диаметр.

В разд. 10.2 мы приведем лоренцевы переложения двух хорошо известных теорем сравнения из римановой геометрии — теоремы сравнения индексов и теоремы сравнения Рауха. Используя последний из этих результатов, мы сможем дать простое доказательство (следствие 10.12) основного факта о том, что в пространстве-времени с всюду неотрицательными времениподобными секционными кривизнами дифференциал expPs экспоненциального отображения

ехрр„: Tv(TpM)-^T ехр (у) M

не уменьшает нормы непространственноподобных касательных векторов.

Наконец, в разд. 10.3 мы приведем аналог теоремы Адамара — Картана для односвязного в будущем пространства-времени. Пространство (М, g) называется здесь односвязным в будущем, если для любых р, q ? М, связанных отношением р q, любые две направленные в будущее гладкие времениподобные кривые, идущие из р в q, гомотопны в классе гладких направленных в будущее времениподобных кривых с концами Bpnq. Используя теорию Морса для пространства С(Р,д) времениподобных путей из разд. 9.2, можно показать, что если (М, g) — односвязное в будущем глобально гиперболическое пространство-время с непро-странственноподобно сопряженными точками, то для любых заданных р, q ? М, связанных отношением р <С q, существует ровно один (с точностью до параметризации) направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент, идущий из р в q.

10.1. Времениподобный диаметр

Понятие диаметра полного риманова многообразия побуждает к рассмотрению для произвольного пространства-времени следующего его аналога (см. Бим и Эрлих (1979в, разд. 9)>. 10.1. Времениподобный диаметр

295

Определение 10.1. Времениподобный диаметр diam (Af1 g) пространства-времени (Af, g) определятся так:

diam (Af, g) = sup \d (р, q): р, q ? М\.

Близкое понятие использовалось Типлером (1977а, с. 17) при изучении теории сингулярностей в общей теории относительности. Физически времениподобный диаметр представляет собой точную верхнюю грань возможных собственных времен, в течение которых произвольная частица могла бы существовать в данном пространстве-времени. Пространство-время конечного времениподобного диаметра является поразительно сингулярным (вспомните определение 5.3).

Замечание 10.2. Если diam (М, g) < оо, то все времениподобные геодезические имеют длину, не большую diam (Af, g), и потому неполны.

Доказательство. Пусть с: (a, b) M — времениподобная геодезическая, длина которой L (с) > diam (М, g). Тогда можно найти s, t ? (a, b), s < t, такие, что L (с | [s, 11) >diam ( Af, g). Но тогда

d (с (s), с (t)) Ss L (с I [s, t ]) > diam (Af, g),

что невозможно.

С физической точки зрения наиболее интересными пространствами конечного времениподобного диаметра являются вселенные Уилера (см. Типлер (1977в, с. 500)). В частности, примерами вселенных Уилера являются «замкнутые» космологические модели Фридмана.

Для полного риманова многообразия (N, g0) диаметр конечен, если многообразие компактно. В этом случае всегда можно указать пару точек из N, расстояние между которыми совпадает с диаметром. Напротив, для пространства-времени с конечным времениподобным диаметром таких точек нет — диаметр никогда не достигается.
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed