Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ZQ V1 (? I 10, U1) удовлетворяет условию я (Z) = = Z. Из тогод что Z (0) = I?' (0)], Z (/,) = [?' (/,)], имеем Z (0) = = p,?' (0) и Z (U) = A?' (t2) для некоторых постоянных [і, я Q R. Положим Z = Z_— (i?' + l((x — Цій І Ф'. Тогда Z (0) =Z (t2) = = 0 и я (Z) =Z. Следовательно,
g (Z" + R (Z, ?') ?', Z) |t = g(Z" + R(Z, ?') ?', Zj\t > 0. (9.72) для всех t Q (0, t2). Выберем постоянную є > 0 так, чтобы
8<inf {g(Z*(0 \ R(Z(t), ?'(0)?'(0. Z(t)y. tQ [A1 ^JJ1
(9.73)
чго возможно ввиду неравенства (9.72). Определим теперь функцию р: Ю, ->• R следующим образом:
[ — et, 0
Итак, у нас теперь есть заданное векторное поле Z Q Q V^ (? I 10, t,]) и заданная функция р: Ю, /2] -v [R. Напомним, что в формуле (9.28) мы зафиксировали псевдоортонормированное поле реперов E1, ..., En^2 для ?. Теперь нам необходимо найти собственную вариацию а: [0,^1 X (—є, є) ->• M геодезической ?| [0, U], удовлетворяющую начальным условиям
д =Z(t) (9.74)
a*ds
(Л 0)
ЖI«. = № Z')\i~P(t))T](t) (9.75)
для всех t Q [0, Z2I- Поэтому хотелось бы определить первую и вторую производные кривых s ->• a (t, s) для каждого t Q [0, t21. Существование такой деформации гарантируется теорией дифференциальных уравнений, примененной к соотношениям (9.74) и (9.75), выписанных в координатах Ферми для геодезической ?, определяемых псевдоортонормированным репером E1, ..., Еп_2, ?'-
Для заданной собственной вариации а геодезической ? | [0, t2], удовлетворяющей условиям (9.74) и (9.75), полагая T = га* (d/dt) и V = a* (d/ds), как и выше, получаем
g &a,a,V, ?') |«, о> + g (V, V') |(/l 0) = P (0- 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
Следовательно,
¦2-(g(Va/*V, ?') + g(V, П) Iu. о)= P '(O =
є, 0 </<-?-,
є, А- < / С '4 4
¦е, lb-<t<t3.
Поэтому в силу условия (9.73) вариация а геодезической ? | [0, /2] удовлетворяет условию (9.70) леммы 9.71. Применяя эту лемму, находим, что эта вариация дает времениподобные кривые as из ? (0) в ? (t2) для малых s Ф 0, как и требовалось. ?
Следствие 9.73. Точка изотропного раздела геодезической ?: [0, а) -v M появляется одновременно с первой изотропно сопряженной точкой или раньше.
Наконец мы подготовлены к тому, чтобы обратиться к доказательству теоремы Морса об индексе для изотропных геодезических. Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы Морса о времениподобном индексе, теорема 9.27. У.читывая утверждение теоремы 9.69, индекс Ind (?) и квазииндекс Ind0 (?) геодезической ? относительно индексной формы L: X0 (?) X Se0 (?) -> R следует определить так.
Определение 9.74. Индекс Ind (?) и квазииндекс Ind0 (?) геодезической ? относительно индексной формы I: X0 (?) X X0 (?) ->¦ -> R задается по правилам _
Ind (?) = sup {dim А: А — подпространство X0 (?) и форма /| Ax
XА положительно определена}
и
Ind0 (?) = sup {dim А: А — подпространство X0 (?) и форма 7| Лх X А положительно полуопределена} соответственно.
В качестве первого шага на пути к доказательству теоремы об изотропном индексе нам понадобится следующая лемма.
Лемма 9.75. Если ? | fs, /] свободна от сопряженных точек, то для любых заданных v ? G (? (s)) и w ? G (? (/)) существует единственный якобиев класс Z^X (?), для которого_ Z (s) = v и Z (t) =w.
Доказательство. Пусть o (; V (?, (s)) и w ? V (? (/)) удовлетворяют условиям я (и) =V и я (w) =w. Так как сопряженные точки по предположению отсутствуют, то найдется единственное якобиево поле / ? V1 (?), для которого J (s) =V И J (t) = W. Тогда Z = п (J) — якобиев класс в X (?), такой, что Z (s) =V и Z (t) =w.
10 Дж. Бим, П. Эрлих 290 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Предположим теперь, что Z1 — второй якобиев класс в Э? (?), удовлетворяющий условиям Zx(s) = V и Z1(Z) = да. Согласно лемме 9.51, существует якобиево поле J1 ? V1 (?), для которого я (^i) = Z1. Из соотношений Z1 (s) = v и Z1 (Z) = да вытекает, что J1 (s) = V + Ci?' (s) и Z1 (Z) = да + c2?' (Z) для некоторых постоянных C1, C2 Є R. Непосредственными вычислениями нетрудно убедиться в том, что существуют постоянные А, р ? R, такие, что якобиево поле J2 (т) = J1 (т) -(- A?' (т) -(- px?' (т) ? ? V1 (?) удовлетворяет условиям J2 (s) =VH J2 (Z) — W. В силу предположения об отсутствии сопряженных точек J2 =-- J. Но это означает, что Z = я (/) = я (J2) = Z1, как и требовалось. ?
Теперь мы подготовлены к доказательству того, что индекс и квазииндекс конечны.
Предложение 9.76. Индекс Ind (?) и квазииндекс Ind0 (?) конечны и связаны равенством Ind0 (?) = Ind (?) -(- dim Jb (?).
Доказательство. Выберем конечное разбиение а = Z0 < Z1 < < ... < Zft = b заданной изотропной геодезической ?: [а, Ь]
M так, чтобы каждый частичный геодезический сегмент ? | [Zj, tj+1 ] был свободен от сопряженных точек. Обозначим через J \ tj\ линейное пространство непрерывных векторных классов W вдоль ?, таких, что W \ [Zj, Zj-+і 1 — гладкий якобиев класс. Непосредственно из установленной в лемме 9.75 единственности вытекает, что пространство J {Z;} конечномерно. Тогда по аналогии с римановой теорией индекса и с лоренцевой теорией времениподобного индекса можно определить конечномерную аппроксимацию ф: Ж0 (?) / {tj\. Именно для данного W ? Ж0 (?) определим кусочно-гладкий якобиев класс ф (W) в J \tj\ следующим образом: для каждого / векторный класс ф (W7) | [tj, tJ+1] является единственным якобиевым классом B ? I [tj, tj+1], у которого ф (W) (tj) = W (tj) и ф (W) (tJ+1) = W (tJ+1). Тогда Ф I J \tj\ = id, и соотношение (9.64), примененное к каждому частичному отрезку [Zj-, tj+1 ], приводит к неравенству
