Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
O = ZflF1 Z) = Ц і (Z(0), А ,.(Г))
для любого Z с S0 (P). Из того, что YQV (P), имеем (У (t), ?' (t)\ = (У (t), п (0) = 0 для всех t Q [а, Ь]. Поэтому (Y' (t), P' (0) = {У (0. 1I (0) =0 для ^ {4, ti, ..., th], а по непрерывности At.(Y') Q У (Р Ui)) для каждого / = 1, ..., k — 1. Пусть X ^ V (P) — гладкое векторное поле, у которого X (a) =X (b) = = 0 и І (tj) = At1 (Y') для каждого / = 1, ..., k — 1. Положим Z = я (X) Q X0 (P). Тогда получаем, что
O=Tflr, Z) = k^ (At. (Y'), At. (Y')).
Из этого соотношения вытекает, что At. (Y') =0 для / = 1, ... ..., k — 1. Следовательно, У' непрерывно в точках tj, как и требовалось. ?
Заметим, что в первой части доказательства (б) =>- (а) теоремы 9.60 мы не знаем, что У" + R (У, ?') ?' ? У (?), даже если Y Q Q V (?). Поэтому мы не можем заключить, что У — якобиево поле во всех точках, кроме tj. Это как раз и есть то самое место в переходе к факторрасслоению G (?), в котором W" + R (W, ?') ?' лежит в G (?) по построению, и индуцированная метрика g положительно определена на G (?) X G (?).
Целью следующей части этого раздела является доказательство важного результата о том, что индексная форма I: X0 (?) X 276 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
X Э?0 (P) -» R отрицательно определена в том и только том случае, когда на [а, Ь\ нет точек, сопряженных t = а, вдоль р. Доказательство этого результата, который неявно содержится в предложениях 4.5.11 и 4.5.12 Хокинга и Эллиса (1977), проведено во всех деталях Бёлтсом (1977, с. 117—123). Ввиду того что доказательство отрицательной определенности значительно отличается от соответствующего доказательства для времениподобных геодезических (см. теорему 9.22), мы коротко обрисуем доказательство для времениподобного случая, с тем чтобы прояснить отличия. Напомним, что прежде всего мы показали, что произвольные собственные кусочно-гладкие вариации а времениподобного геодезического сегмента имеют времениподобные соседние кривые as для достаточно малых s. Затем как следствие из леммы Гаусса и теоремы об обратной функции было доказано, что если с: [а,Ь\~> -»• M — направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент без сопряженных точек, то для любой собственной кусочно-гладкой вариации а геодезической с соседние кривые as удовлетворяют неравенству L (as) < L (с) для всех достаточно малых s. Это приводило к тому, что в отсутствие сопряженных точек индексная форма отрицательно полуопределена. Затем мы смогли алгебраически доказать отрицательную определенность. Обратно, если с имела на [a, b ] сопряженную точку, мы строили кусочно-гладкое векторное поле Z ? VJ (с) нулевого индекса, используя для этого нетривиальное якобиево поле, гарантированное существованием точки, сопряженной t = а.
Для того чтобы построить содержательную теорию для изотропных геодезических, необходимо работать с допустимыми вариациями. Однако из теории для точек изотропного раздела известно, что если P ф) приходит раньше точки изотропного раздела для P (а) вдоль P в будущем, то в Af не существует направленных в будущее времениподобных кривых из P (а) в P ф). Поэтому геометрические доводы поднятия в отсутствие сопряженных точек и применение леммы Гаусса не могут быть использованы для получения отрицательной полуопределенности индексной формы / в отсутствие сопряженных точек. Вместо этого необходимо работать непосредственно с самими якобиевыми полями. Наиболее удобно сделать это при помощи якобиевых тензоров.
С другой стороны, доказательство того, что если / < О, то сопряженных точек нет, можно провести в точности так же, как в римановом случае и в случае времениподобных геодезических. Значительно более сложные доказательства представлены у Хокинга и Эллиса (1977, предложение 4.5.12) и Бёлтса (1977, теорема 4.5.3) вследствие того, что эти авторы хотели получить следующий результат: если Р: [a, b] -> M имеет точку P (t), t ? (а, Ь), сопряженную P (а), то существует времениподобная кривая, 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
идущая из ? (а) в ? (b) «близко» к ?. Векторное поле W собственной допустимой вариации кривой ?, используемое для доказательства этого результата, проектируется в векторное поле W — — л (W) ? X0 (?), W Ф [?j, которое в силу условия (9.46) удовлетворяет неравенству 1 (W, W) ^ 0 и, следовательно, доказывает оставшуюся половину теоремы 9.69. Для полноты изложения мы приведем также доказательство предложения 4.5.12 из книги Хокинга и Эллиса. Отметим, что этот результат состоит в следующем: точка изотропного раздела геодезической ? появляется одновременно с первой изотропно сопряженной точкой ? или раньше.
Чтобы доказать отрицательную определенность формы 1 в случае, если ? свободна от сопряженных точек, коротко опишем основные понятия и факты теории якобиевых и лагранжевых тензоров (см. Бёлтс (1977, с. 45—49)). Описание этих тензоров, приведенное в указанной монографии с точки зрения V-обозначе-ний, впервые было дано Эшенбергом (1975) для римановых многообразий и опубликовано также в работе Эшенберга и О'Салливена (1976), где эти тензоры привлекались для изучения расходимости геодезических в полных римановых многообразиях.
