Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 120

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 167 >> Следующая


жим, что А (Z) (V) =A' (Z) (V) = [?' (Z)] для некоторого V ? ? G (? (Z)). Выберем единственный вектор V ? V (? (Z)) из условия л (и) = V и запишем его в следующем виде: v = ^iIZfXiEі (t). Тогда V = ^lIZiXiEi (Z), и мы получаем, что [?' (Z)] =A (v) = = Iи=" Uli{t) и

[?' (Z)] = A' (о) = 5 UA' (E1) I, = if XlJi (Z).

1=1 i=i

Таким образом, J = I] "=I2Wi — якобиев класс в G (?), удовлетворяющий условиям J (Z) = J' (Z)= [?' (Z)]. Следовательно, J = = [?'l. Тем самым ^"ZiXiEi (s) = [?' (s) ] для всех s (j [a, b], что противоречит линейной независимости параллельных классов E1, ..., Еп_2. Следовательно, ker (A (s)) f| ker (A' (s)) = [?' (s) 1 для всех s ? fа, Ь], как и требовалось.

Полезно отметить также следующий результат.

Лемма 9.62. ker (A (S0)) f| ker (A' (s0)) = f?' (s0)^] для некоторого s0 ? la, b] в том и только том случае, если А удовлетворяет условию (9.57).

Доказательство. Предположим, что v ker (A (s0)) П П ker (A' (s0)), V ф [?' (s0) ], a Y — параллельный класс в Ж (?), для которого Y (s0) = v. Тогда / -= A (Y) — якобиев класс, у которого J (s0) =A (v) = I?' (s0)] и J' (s0) = A' (и) = [?4sb)l. Следовательно, J = f?' 1. Откуда вытекает, что Y (Z) (j ker (A (Z)) f| П ker (A' (Z)) для всех Z G [а, Ь]. ?

Следующие две леммы нетрудно получить из тех связей между параллельными классами, якобиевыми классами и якобиевыми тензорами, которые указаны выше (см. Бёлтс (1977, с. 28 и 49)).

Лемма 9.63. Точки ? (Z0) и ? (Z1) сопряжены вдоль изотропной геодезической ?: la, b] -> М_ в том и только том случае, если существует якобиев тензор А: G (?) -»• G (?), для которого A (Z0) = = 0, 1'(t0) = id и ker (A (Z1)) ^ {f?' (Z1)Ib

Лемма 9.64. Пусть ?: [a, b] -> M — изотропная геодезическая без сопряженных точек. Тогда существует единственное гладкое (1,1)-тензорное поле А: G (?) -> G (?), удовлетворяющее дифференциальному уравнению A" -f RA = 0 с заданными граничными условиями A (a): G (? (а)) ->• G (? (а)) и A (b)\ G (? (b)) -»• ->¦ G (? (Ь))> 9.3. Теория Морса для изотропного индекса 27"}

Доказательство. Обозначим через J пространство (1, ^-тензорных полей в G (?), удовлетворяющих дифференциальному уравнению A" + RA = 0. Тогда можно определить линейное отображение ф: / -»• L (G (? (а))) X L (G (? (b))), полагая ф (А) = = (А (а), А (Ь)). Из того, что ?: [a, b \ -> M свободна от сопряженных точек, вытекает инъективность ф. Поэтому, если ф (Л) = = (0, 0) и Y — произвольный параллельный векторный класс в Ж (?), то J = A (Y) — якобиев класс, у которого J (а) = = f?' (а)] и J' (b) = [?' (&)], так что J = ф']. В силу того что Ф — инъективное линейное отображение и dim J = = dim (L (G (? (а))) X L (G (? (b)))), получаем биективность ф. ?

Даже если R = R* и (Л')* = (Л*)', тензор Л*, сопряженный якобиеву тензору Л, не обязательно сам якобиев вследствие того, что в общем случае (ЯЛ)* ф RA*, хотя всегда (ЯЛ)* =A*R. Тем не менее якобиевы тензоры и сопряженные имеют следующее полезное свойство, которое удобно установить при помощи тензорного поля Вронского (см. Эшенбург и О'Салливэн (1976, с. 226), Бёлтс (1977, с. 48)).

Определение 9.65. Пусть Л и В — два'якобиевых тензора вдоль G (?). Тогда их вронскиан W (А, В)—это (1,1)-тензорное поле вдоль G (?), задаваемое по правилу

W(А, В) = (A')*В - A*B'. (9.59)

Из того, что R* =R, и равенств (9.51) и (9.56) вытекает, что если Л и В — любые два якобиевых тензорных поля вдоль G (?), то [W (А, В)У =0. Тем самым W(AtB) является постоянным тензорным полем. Тогда естественно рассмотреть следующий подкласс якобиевых тензоров.

Определение 9.66. Якобиево тензорное поле Л вдоль G (?) называется лагранжевым тензорным полем, если W (А, А) =0.

Для доказательства предложения 9.68 нам понадобится небольшое следствие из определения 9.66.

_ Лемма 9.67. Пусть А — якобиев тензор вдоль G (?). Если A (s0) = 0 для некоторого s0 (j la, b], то А —лагранжев тензор и, в частности,

(Л')*Л = Л*Л'. (9.60)

Доказательство. Мы уже знаем, что W (А, А) — постоянный тензор._Но если Л (S0) =0, то _и Л* (s,,) =0, и, следовательно, W (Л, Л) (So) = 0. Поэтому W (Л, Л) = 0, как и требовалось. ? 282 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий

Теперь мы готовы доказать следующее важное утверждение.

Предложение 9.68. Пусть ?: la, b\ M — изотропная геодезическая, свободная от точек, сопряженных t = а. Тогда I (W, W) < 0 для всех W^ X0 (?), W Ф [?'].

Доказательство. Пусть А — якобиев тензор вдоль G (?) с начальными условиями А (а) =0 и А' (а) = id. Из того, что ? не имеет сопряженных точек, в силу леммы 9.63 получаем, что ker (Л (0) = |[?' (011 Для всех t ? (а, Ь].

Пусть теперь W ? X0 (?) произвольно. Из того, что Л — неособенный на (а, Ь] и W (а) = [?' (а)], вытекает существование Z ? Ж (?) с условием W = Л (Z). По правилу ковариантного дифференцирования тензорных полей получаем, что

A (Z) = [A (Z)Y — A (Z') (9.61)

и

Л" (Z) = (Л' (Z))' — A' (Z'). (9.62)

Приступим к вычислению I (W, W). Привлекая формулы (9.56) и (9.61), получим сначала

1(W, W) = - J'UGF, W') — g(R(W, ?')?', W)] dt =
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed