Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 9.53. Пусть W ? X (?) — якобиев класс, подчиненный условиям W (а) = [?' (а)] и W (b) — [?' (Ь)]. Тогда существует единственное якобиево поле Z ? V1 (?), для которого я (Z) — = W и Z (a) = Z (b) = 0.
Доказательство. Из леммы 9.51 известно, что существует якобиево поле Y ? У1 (?) с условием я (F) = W. Однако мы не знаем, выполняются ли равенства Y (a) = Y (b) = 0. Для любых постоянных %, р ? R векторное поле Y + A-?' + pi?' также является якобиевым полем в У1 (?), причем я (Y + A?' + pZ?') = = W. Вследствие равенств я (Y) = W и W (а) = [?' (а)], W (b) = [?' (Ь)] можно утверждать, что Y (а) = C1P' (а) и Y (b) = = C2 (?' (b) для некоторых постоянных C1, C2 ? R. Выбирая % = — (сга — сгЬ) (Ь — а)"1 и р = Ь"1 [(сгЬ — с2а) (Ь — а)"1 — C2], легко убедиться в том, что Z = Y + ^?' + pZ?' удовлетворяет условиям Z (a) = Z (b) = 0.
Чтобы доказать единственность, предположим, что Z1 — второе якобиево поле в V1 (?), удовлетворяющее условиям я (Z1) = = W и Z1 (a) = Z1 (b) = 0. Тогда X = Z1 — Z является якобиевым полем вида X = Щ', причем X (a) = X (b) = 0. Из соотношения 0 = X" + R (X, р') р' = a'P' + hR (?\ ?') ?' = hy вы- 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
текает, что h — линейная функция. А так как h (a) = h (b) = О, то необходимой = 0. Следовательно, Z1 = Z, как и требовалось. ?
Доказанная лемма 9.53 позволяет дать следующее определение. Напомним также, что если J — произвольное якобиево поле вдоль ?, удовлетворяющее условиям J It1) = J (t2) = 0, где Ф t2, то J Є V1 (?) (см. лемму 9.46).
Определение 9.54. Пусть ?: [а, b] -у (М, g) — изотропная геодезическая. Будем говорить, что точки и t2 из [а, Ь], ^Ф Ф t2, сопряжены вдоль ?, если в Ж (?) существует якобиев класс W Ф [?'], для которого W V1) = [?' &)] и W (t2) = [?' (?]. Будем говорить также, что ? (a, b]—сопряженная точка геодезической ?, если t = а и сопряжены вдоль ?. Положим
Jt (?) = {якобиевы поля Y вдоль ?: Y (a) = Y (t) = 0?
и
Jt (?) = {якобиевы классы W ? Ж (?): W (а) = [?' (а)] и W (t)= I?' (*)]}.
Тогда Jt (P) с= У1 (P) и и t2 сопряжены вдоль P в смысле определения 9.54 в том и только том случае, когда существует нетривиальное якобиево поле J вдоль р, у которого J (tj) = J (t2) = = 0. Из единственности, доказанной в лемме 9.53, вытекает следующий важный результат.
Следствие 9.55. Естественное проектирование я: Jt (P) -v -v Jt (P) является изоморфизмом для каждого t f (а, Ь]. Таким образом, Jt (P) конечномерно и dim (P) = dim Jt (P) для всех t ? (а, Ь].
Теперь мы подготовлены к изучению индексной формы изотропной геодезической Р: [а, Щ -v (М, g). Для геометрической интерпретации индексной формы полезно ввести функционал, аналогичный функционалу длины дуги для времениподобных геодезических, а именно функционал энергии. Основанием для использования энергии вместо длины дуги является простое обстоятельство: производная функции / (х) = j/ х в точке х = 0 не существует, a Y—S (?' (0> ?' (0) = 0 Аля всех t ? [а, Ь], если только ? — изотропная геодезическая.
Определение 9.56. Пусть у: [с, d] -v (М, g) — гладкая непространственноподобная кривая. Гладкое отображение Ey: [с, d] -v -V R, задаваемое формулой
?v (о=-HL і у' ^ і2 ds=—г JL ¦g (v'(s)> (s)) ds- 272 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
называется функционалом энергии кривой у, а число E (у) = = Ey (d) — энергией кривой у.
Энергия кусочно-гладкой непространственноподобной кривой у вычисляется при помощи суммирования энергий по интервалам, на которых у является гладкой, в точности так же, как и в формуле (3.1) для функционала длины дуги. Если положить Ly (t) = = L (у I [с, Л), то, применяя неравенство Коши—Буняковского (Коши—Шварца), получим
L*(d)<s.2(d-c)Ey(d). (9.38)
Равенство в формуле (9.38) достигается в том и только том случае, если Il / (t) Il постоянна. Тем самым равенство выполняется только для изотропных или времениподобных геодезических.
Напомним, что через V1 (?) обозначается пространство кусочно-гладких векторных полей Y вдоль ?, ортогональных ?' и Vt (p) = li' (p): Y (a) = Y (b) = 0}.
Определение 9.57. Индексная форма /: Vі- (P) X Vl (P) R изотропной геодезической Р: [а, Ь] M определяется по правилу
I (X, Y) = - ? ((X', Y') - (R (X, P') P', Y)) dt (9.39)
для любых X, Y Q Vі- (P).
Интеграл в правой части формулы (9.39) можно проинтегрировать по частям совсем так же, как и во времениподобном случае (см. замечание 9.5). Это позволяет дать другое, но равносильное определение индексной формы, используемое Хокингом и Эллисом (1977, с. 129) и Бёлтсом (1977, с. 110). Или, подробнее,
k
I {X, Y) = fa (X" + R (X, P') P', Г) dt + J (А/. (X'), Г), (9.40)
і= О
где разбиение a = t0 < t± < • • •< tk = b выбрано так, что X I [ti, tl+1] гладкое для всех і = 0, 1, ..., k и
д,в (X') = X' (а+), Atk (X') = -X' (Ь~)
и
Д, (*')= lim X' (ft - IimX' (0,
1 t-rtf t-yfj
где і = 1, ..., k — 1.
Если а — вариация изотропной геодезической Р, такая, что все соседние кривые изотропны, то все производные функционала энергии обращаются в нуль при s = 0, так как E (а,) = 0 для 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
