Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
у;- Ф и Ум (0)
Y -(Vi (1). Vi (1)) /- (YiVi (0). V(+i (0)) 9.2. Пространство времениподобных путей
259
в пространстве Tx. (M) имеют одну и ту же проекцию на подпространство Tx. (S;) сг Tx. (M) для каждого і = 1, ..., k. Это дает возможность "утверждать, что у = у0 *уг* ••• * yh можно перепараметризовать в гладкую времениподобную геодезическую из р в q.
Таким образом, мы видим, что критические точки функционалов L*: М(р, q) ->¦ R и L: С(р, q) -> R совпадают и являются в точности гладкими~времениподобными геодезическими из р в q. Из нашего доказательства теоремы Морса о времениподобном индексе (теорема 9.27), проведенного путем аппроксимации VJ (с) пространствами кусочно-гладких якобиевых полей (см. лемму 9.26), вытекает, что индексы Lif-. Mip, q) -> R и L: С(р, q) -> R совпадают. Из теоремы Mopca-sro S времениподобном индексе (теорема 9.27) вытекает также, что^критическая точка с является вырожденной в том и только том^случае, если""/? и q сопряжены вдоль с (см. также предложение 9.13). ?
При помощи предложения 9.37 можно получить следующий результат.
Предложение 9.38. Пусть (М, g) глобально гиперболично. Если точки р и q непространственноподобно не сопряжены, то функционалы L: С(р, q) -> R и LMu,, q) -> R имеют лишь конечное число критических точек. В частности, существует лишь конечное число направленных в будущее времениподобных геодезических из р в q.
Доказательство. Согласно предложению 9.37, достаточно показать, что функционал Lt: M(Pi q) R имеет конечное число критических точек. Предположим противное: Lsi. имеет бесконечно много критических точек. Тогда должна существовать бесконечная последовательность гладких времениподобных геодезических |сХ=1 из р в q. Из того, что каждое множество Ui (Mfpil7)) имеет в S1 компактное замыкание, вытекает существование подпоследовательности последовательности |сп}, сходящейся к времениподобной или изотропной геодезической с из р в q. Поскольку с — предел бесконечной последовательности геодезических из р в q, получаем, что р сопряжена q вдоль с, что приводит к противоречию с условием. ?
Другим интересным свойством функционала LjJ. М(р, q) ->- R является следующий результат.
Предложение 9.39. Функционал L^: M(Pt q) ->- R достигает своего максимального значения на каждой компоненте множества
M(Pl9),
9* 260 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Доказательство. Так как М(в, „) — открытое подмногообразие произведения S1 x • • • x Sh, то его замыкание компактно в S1 x • • • x Sh. Кроме того,
ГДЄ X0 — P И хь+1 = q для любой времениподобной цепи \хъ ... ...,xh\ из р в q. Поскольку лоренцева функция расстояния для глобально гиперболических пространств конечнозначна, функционал Lst ограничен на каждой связной компоненте U множества M(P,q). Пусть IvnI —последовательность в связной компоненте U множества М(р, „), для которой Lsf (уп) -> sup {Llf (у): у f U\ при п -> оо. Ввиду компактности замыкания сі М(р, Ч) в S1 X ¦ • • X Sh последовательность \уп\ имеет предельную кривую у™ в cl (U) сг с S1 x • • • x Sh. Из того, что \уп\ является максимизирующей последовательностью для функционала Lsi. | U1 вытекает, что
(У-) 5s Lsi. (ст) для любого ст ? cl (U) и Lsf (Y00) > 0. Если Yoo представляется элементом (хъ ..., xk) ? S1 x • • • x Sh, то р < X1 <¦••<; xh < q, а если у„ —единственная максимальная геодезическая из Xi в Х;+1, наличие которой гарантируется леммой 9.34, то каждая у; либо изотропна, либо времениподобна. Если некоторая у і является изотропной, то из формулы первой вариации (9.23) следует, что Yoo можно продеформировать в кривую y 6 cl (U), притом так, что Lsf (y) > Lsf (y00). Это противоречит максимальности Lsfi | cl (U) на Yoo. Поэтому предельный элемент Yoo ? t/.D
Вновь рассмотрим М(р. q) как подмножество S1 x • • • x Sk. Обозначим через Pi: Tx (M) -> Tx (Sf) отображение ортогонального проектирования, где хс Si —любое и і = 1, 2.....k. На
множестве M(p.q), рассматриваемом как открытое подмножество произведения S1 x • • • x Sh, можно задать риманову метрику, индуцированную ограничением лоренцевой метрики на простран-ственноподобные гиперповерхности Коши S1, ..., Sh. Из формулы (9.23) вытекает, что в точке из M(p,q), представляемой ломаной времениподобной геодезической Y = То * Ti * • • • * Уь гДе каждая Yi параметризована на [0, 1 ], a Ai и Bi определены выше, градиент функционала L* задается следующей формулой:
k
¦ • *И)= S d(*b ЛГі+i) с d(p, q),
Используя эту формулу, Уленбек (1975, с, 80—81) доказал следующую лемму. 9.2. Пространство времениподобных путей
261
Лемма 9.40. Пусть ?: (а, ft)-> -Mfpiff) —максимальная интегральная кривая grad Li.. Тогда ft -= оо и lim ? (t) лежит в кри-
t-+ OO
тическом множестве функционала
Из доказанного свойства градиента L* вытекает (Уленбек (1975, с. 81)), что если р и q времениподобно не сопряжены, то L*: M(Piff) -> R является функцией Морса для М(Р, „). Из этого факта и предложений 9.36 и 9.38 следует основной результат.
Теорема 9.41. Пусть пространство-время (М, g) глобально гиперболично и р, q —любая пара точек из (М, g), связанных отношением р 4С q и таких, что р и q непространственноподобно не сопряжены. Тогда в (М, g) существует лишь конечное число направленных в будущее времениподобных геодезических из р в q, и функционал длины дуги L: С(р, q) -> R является гомотопической функцией Морса. Поэтому если b и a, b > а, —любые два некритических значения функционала L, то пространство L"1 (—оо, Ь) гомотопически эквивалентно пространству L'1 (—оо, а) с приклеенной клеткой для каждой гладкой времениподобной геодезической у из р в q, для которой а < L(у) < ft, где размерность приклеенной клетки равна (геодезическому) индексу у. Тем самым C(P.ff) имеет гомотопический тип конечного клеточного комплекса с одной клеткой размерности К для каждой гладкой направленной в будущее времениподобной геодезической у из р в q индекса Я.
