Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для заданного У Q X (?) выберем X Q У1 (?) из условия я (X) = У. Тогда X (t) = / (t) ?' (t) + 0 (V) (t), где 0 то же, что и в формуле (9.30). Согласно правилу (9.32), при помощи 0 (У) можно вычислить V' (t): V' (t) = я (ур< (0 (У)) (0). Кроме того, 0 (У) удовлетворяет соотношению (?' (t), 0 (У) (0) = ("Л (t), 0 (У) (0) для всех t Q [а, Ь]. Из того, что р — геодезическая, а т| параллельно вдоль ?, после дифференцирования получаем, 4TO(?'(0, V|3-0 (У) (0) = <т| (0- V?'9 (Ю (O) = O для всех t ? [а, Ь]. Поэтому V?-0 (У) Q У (P)- Следовательно, для всех t Q [a, b]
0 (У (0) = (0 (V)Y (0, (9.33)
где дифференцирование в левой части последнего равенства проводится в G (?), а в правой части — в У (?). Поэтому, если отождествить G (?) и У (?) при помощи изоморфизма 0, то ковариантное дифференцирование в G (?) и в У (?) будет одинаковым.
Чтобы перенести на G (?) якобиевы поля и дифференциальное уравнение Якоби, необходимо определить эндоморфизм кривизны
Я (-, P' (0) P' (0: С(Р (0)-G(? (0)
для каждого t Q [а, Ь]. Это можно сделать следующим образом. Для заданного v Q G (? (0) выберем произвольный х Q N (? (0) из условия я (х) = V и положим
R(v, ?' (O)?' (0 = я (R (х, ?' (0) ?' (0). (9.34)
Легко видеть, что в силу равенства Я](Р', ?') ?' = 0 это определение не зависит от выбора х Q N (? (0), если только я (х) = v. Если V = л (х) и w = я (у), где х, у ? N (? (0), то из формул (9.31) и (9.34) вытекает, что
g (R(v, ?' (0) ?' (0, w) = g (R (x, ?' (0) ?' (0, У). (9.35) 9.3. Теория Морса для изотропного индекса 27"}
Наконец, пользуясь симметрией g (R (х, у) z, w), получаем, что
і (R (а, ?' (0) ?' (t), w) = g (R (w, ?' (0) ?' (0, v) (9.36) для всех v, w Є G (? (^)).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы определить в G (?) якобиевы классы (см. Бёлтс (1977, с. 43—44)).
Определение 9.50. Гладкое сечение V ? Ж (?) называется якобиевым классом в G (?), если У удовлетворяет дифференциальному уравнению Якоби
У" + R (У, ?') ?' = [?' ], (9.37)
где ковар'иантное дифференцирование задается формулой (9.32), а эндоморфизм кривизны R — формулой (9.34).
Как мы увидим в приводимой ниже серии лемм, для заданного якобиева класса W ^ X (?), подчиненного условиям W (а) Ф Ф [?' (а)] и W (Ь) Ф [?' (?>)], в У1 (?) существует двупараметри-ЧЄСКОЄ семейство Jk fl якобиевых полей вида Jx, d = J + ^?' + + jx/?', где X, fx ^ R и я (Jxrtl) = W. Далее следует подчеркнуть, что для заданного якобиева класса W Є X (?) может и не быть якобиева поля J, для которого я (J) =W, в произвольной геометрической реализации V (?) факторрасслоения G (?). С другой стороны, всегда существует якобиево поле J ? У1 (?), у которого я (J) = W. Но для J может оказаться необходимым иметь компоненту в [?' ]. Причина этого станет ясна в лемме 9.52. В доказываемых ниже леммах мы будем использовать геометрические реализации У1 (?) = [?'] ф У (?), определенные в формуле (9.29).
Лемма 9.51. Пусть W — якобиев класс векторных полей в G (?). Тогда существует гладкое якобиево поле Y f V1 (?), у которого я (F) = W. Обратно, если Y — якобиево поле в V1 (?), то я (F) — якобиев класс в G (?).
Доказательство. Вторая часть утверждения леммы ясна, потому что если Y" + R (Y, ?') ?' = 0, то 0 = я (Y" + R (Y, ?') P')= (я (К))"+ Я (я (Y), р') р'.
Остается доказать первое утверждение леммы. Для заданного якобиева класса W рассмотрим гладкое векторное поле Y1 в геометрической реализации У (?), для которого я (F1) = W. Ввиду того что W" + R (W, P') P' = [р'], в Ж (P) существует гладкая функция /: [а, Ь] -»- R, такая, что Y\ + R (F1, P') P' = / P'. Пусть h: la, b] ->- R — гладкая функция, h" = /. Положим Y = Y1 — /гР'. Тогда я (F) = W, и мы получаем
/Р' = Y'i +R (F1, P') P' = (F + /гР')" + R (Y + Лр', P') P' = = Y" + h"P' + R (Y, P') P' = F" + /р' + R (Y, P') P'. Следовательно, 0 = F" + R (Y, ?') ?', как и требовалось. ? 274 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Более точно связь между якобиевыми полями в геометрической реализации У (?) факторрасслоения G (?) и якобиевыми классами в X (?) описывается следующей леммой.
Лемма 9.52. Пусть W — якобиев класс в Ж (?). Тогда якобиево поле J ? У (?) с условием я (J) = W существует в том и только том случае, когда геометрическая реализация 0 (W) класса We У (P) удовлетворяет условию R (6 (W), ?') ?' \t ? Є У (? (0) для всех t ? [а, Ь].
Доказательство. Если J ? У (?) и я (J) = W, то 0 (W) — J. Но так как J — якобиево поле, то
R (0 (W), P') р' = R (J, P') P' = -J'?V (P)
ввиду ТОГО, ЧТО J ? V (?).
Допустим теперь, что R (0 (W), ?') ?' ? V (?) и J = 0 (W). Тогда R (0 (W), ?') P' = R (J, ?') ?'. Вследствие того что W" + + R (W, ?') ?' == [?'] в G (?), известно, что J должно удовлетворять дифференциальному уравнению вида J" + R (J, ?') ?' = = /Р' в 1/1 (P). Однако если R (9(10, P') P' = R (J, P') P' Є V (P)-то векторное поле J" + R (J, P') P' лежит в У (?). Следовательно, согласно разложению (9.29), J" + R (J, ?') ?' = 0. ?
Для изучения сопряженных точек необходимо доказать следующее уточнение леммы 9.51 (см. Бёлтс (1977, с. 43—44)).
