Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 110

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 167 >> Следующая


Непосредственно из определения вытекает, что Qo (у) = у и Qi (y) с М(р, д). Ввиду того что Qp (y) Iy (0), y (?) 1 максимальна среди всех кривых из Y (0) в У (?). по лемме 9.34 имеем

L(Q>, (y)iy(zi). y(?)]) = d (y(o). уф)) ^ L (у \ [t„ ?]), где через d обозначена лоренцева функция расстояния на многообразии (М, g) (мы использовали здесь также соглашение об обозначении 7.4). Аналогично, ввиду того что Qx (?) — единственный максимальный геодезический сегмент из у (Z7) в y (tj+i) Для каждого /, Ocjci — 1, имеем L (Qx (у) Iy (tj), Y (Z/+i) 1 Sa L (y I IZ/, Z/+1J). Объединяя, получаем

MQfc(y) [р, y (P)DssMy I lf(p). PD-

Вследствие того, что Q1 (y) (Z) = y (0> t ss Р, имеем L (QK (y)) ^ L (y). Более того, из рассуждений, проведенных выше, ясно, 9.2. Пространство времениподобных путей

257

что L (Qk (у)) = L (у) для всех X тогда и только тогда, когда у — ломаная времениподобная геодезическая из р в q с возможными изломами только на поверхностях Si. В частности, Q^ I M(p,q) = = Id для всех XQ [0, 1 ]. Наконец, непрерывность отображения X -> Qa легко следует из дифференцируемой зависимости геодезических в выпуклых окрестностях от их концевых точек. ?

Следуя Уленбеку (1975, с. 79), обозначим через Ljf = L | М(р, q) ограничение функционала лоренцевой длины дуги на подмножество пространства С(р>?). В точности так же, как и в рима-новом случае (см. Милнор (1966, теорема (16.2)), можно убедиться в том, что Lst.: М(р, -> R является точной моделью L: С(р, q) -> R в следующем смысле.

Предложение 9.37. Если многообразие^ (М, g) глобально гиперболично, то критические точки функционала L^ = L | Л4(р, q) суть гладкие времениподобные геодезические сегменты из р в q. Эти критические точки невырожденны в том и только том случае, если р и q времениподобно не сопряжены. Более точно, индекс каждой критической точки один и тот же и в пространстве C(Pi q), и в его ретракте М(р, q), а именно, это индекс по сопряженным точкам.

Доказательство. Отождествим М(р, q) с /г-цепями \хг, ..., xh\ из р в q, где Xi Q Si для каждого І, как в формуле (9.21). Положим X0 = р и xh+1 = q. Пусть yt: [0, 1 ] -> M — (единственная) максимальная времениподобная геодезическая из Xi в хі+1, і = = О, 1, ..., k. Тогда

k+\ і

l* (X1, . ... ль) = 2 j /(-тно. УНФ dt. і=OO

Рассмотрим гладкую деформацию {X1 (t), ..., xh (t)\ данной цепи \хъ ..., xh}. Вследствие того что каждое отображение t -> х; (t) является кривой в Si, векторное поле вариации деформации должно лежать в касательном пространстве Tx. (Si) в Xi. Так как мы деформируем заданную цепь, представляющую собой кусочно-гладкую времениподобную геодезическую, в классе кусочно-гладких времениподобных геодезических с разрывами только на поверхностях Коши Si, то пространство деформаций цепи Jx1, ... ..., xh\ можно отождествить с множеством всевозможных векторных полей Y вдоль {jtb ...,xh], у которых Y (Xi) Q Tx. (Si) для i=l, ..., k, Y (р) = Y (q) = О и Y | — гладкое якобиево поле вдоль у і для каждого і = О, 1, ..., k. В силу того что поверхности Si выбраны, как в лемме 9.34, ни одна yt: [0, 1 ] ->- M не имеет сопряженных точек. Поэтому для любых заданных Vi Q Q Tx. (Si) и Wi Q (Sui) существует единственное якобиево

9 Дж. Бим, П. Эрлих 258 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий

поле J вдоль [0, 1 ] -> М, у которого J (0) = Vi и J (1) = = Wi. Таким образом, пространство 1-струй деформаций данной цепи I-K1, ..., Xh] можно отождествить просто с декартовым произведением T4 (S1) X • ¦ • X Txji (Sfl).

Пусть ст: [a, b ] M — гладкая направленная в будущее времениподобная кривая, параметризованная так, что Y — (s)> т' (s)) = А постоянно для всех s ? (а, Ь), а а' (а+) и а' (Ь~) —времениподобные касательные векторы. Пусть a: [a, b] X (—є, є) -> M —гладкая вариация кривой ст в классе непространственноподобных кривых с векторным полем вариации V. Если as: [a, b] -> M —кривая, определяемая формулой as (t) = a (t, s), то первая формула вариации для L' (0) = = (d/ds) L (as) I s=o представляется следующим образом:

ь

E' (0) = (V, a') г JL j (I/, Vo,ct') |( dt. (9.22)

a

Поэтому, если а —времениподобная геодезическая, то L'(0) = (-1/-)(1/, ст')

Применим теперь формулу (9.22) для того, чтобы вычислить первую вариацию собственной деформации а элемента |лг1( ... ...,xh\ ? M{p.q). Как и раньше, пусть у;:[0, 1 ] -> M —времениподобные геодезические из Xi в xi+1, где і = 0, ..., k. Тогда Ijc1, ..., xh] представляется кусочно-гладкой времениподобной геодезической у = уо * Ti * • ' • * Tfe- Пусть V — векторное поле вариации а вдоль Y и уг = V (Xi) ? Tx (S1). Как мы упоминали выше, кусочно-гладкое якобиево поле V вдоль Y можно отождествить с (у1г ..., Уь) Є TXi (S1) X---X TXh (Sh). Ограничивая V на каждую Yi и применяя формулу (9.22), получим требуемую формулу первой вариации для L^ = L | M(p,q):

бL* (Уг, - - yk) = ? ((Уі-і, - (Уь y^)) , (9.23)

с=і 1

где

A1 = V-(yi (0), 7((0)), ^i = Z-(YHl), Y^(O) для каждого І. Из формулы (9.23) стандартными рассуждениями получаем, что бL* (уи ..., yh) = 0 для всех (у1г ..., уk) ? ? Tx (S1) X • • • X TXk (Sh) тогда и только тогда, когда касательные векторы
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed