Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. В ходе этого доказательства все геодезические будут времениподобными, нормальными и направленными в будущее. Достаточно показать, что если у: [0, t\ -> М, у (0) = р, имеет нулевой индекс и точка у (t) не сопряжена р вдоль У I [0, то у максимальна. Вследствие замкнутости множества вырожденных точек отображения ехрр из теоремы 9.27 вытекает существование положительных чисел E1, е2, таких, что если ^ (v> у' (0)) < E1 и є < е2, то направленная в будущее времени" 252 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
подобная геодезическая а: [0, t + є] М, у которой о' (0) = и, имеет нулевой индекс. Здесь символ -4 обозначает угол, измеренный при помощи произвольной вспомогательной римановой метрики.
Согласно теореме Сарда, найдется последовательность точек \Рі} с /+ (р), сходящаяся к 7 (Y) и такая, что всякий времениподобный геодезический сегмент из р в pi имеет несопряженные концевые точки. По предположению каждый такой сегмент имеет либо нулевой индекс, либо индекс не меньший двух. Согласно предложению 9.29, существует единственный времениподобный максимальный геодезический сегмент yt из р в pt индекса 0.
Вследствие того что (ехрр)* неособенно в Zy (0), для достаточно больших і существуют геодезические сегменты Yi из р в Pi, сходящиеся к у, уі-+у. Так как 4 (у} (0), у' (0)) -> 0, то для больших і эти сегменты имеют нулевой индекс. Отсюда вытекает, что у; = = уі для достаточно больших і и, следовательно, yt максимален. Поэтому сегмент у как предел максимальных геодезических является максимальным. ?
9.2. Пространство времениподобных путей
глобально гиперболического пространства-времени
В этом разделе, следуя Уленбеку (1975) (см. также Вудхауз (1976)), мы рассмотрим теорию Морса для пространства путей направленных в будущее времениподобных кривых, соединяющих две хронологически связанные точки в глобально гиперболическом пространстве-времени. Оба подхода основываются на изложении теории Морса для пространства путей полного риманова многообразия, предложенном Милнором (1966, с. 100—109), в котором полное пространство путей аппроксимируется кусочно-гладкими геодезическими. Другой подход к теории Морса для непространственноподобных кривых в глобально гиперболических пространствах предложен Эверсоном и Толботом (1976, 1978). Они воспользовались результатом Кларке (1970) о том, что всякое четырехмерное глобально гиперболическое пространство-время можно изо-метрично вложить в пространство-время Минковского высокой размерности, задавая тем самым на подклассе времениподобных кривых в M структуру гильбертова многообразия.
Однако вернемся к обобщению теории Морса для пространства путей кусочно-гладких времениподобных кривых, соединяющих точки р q в произвольном глобально гиперболическом пространстве-времени (М, g) размерности предложенному Уленбеком.
Определение 9.31. Обозначим через С(р>?), где р, q ? M — заданные точки, связанные отношением р С <7> пространство 9.2. Пространство времениподобных путей
253
направленных в будущее кусочно-гладких времениподобных кривых, соединяющих р с q, где отождествляются любые две кривые, отличающиеся лишь параметризацией.
Хотя С(р, q) можно превратить в бесконечномерное многообразие только после надлежащего пополнения, оно тем не менее обладает касательными пространствами, состоящими из кусочно-гладких векторных полей вдоль заданной кусочно-глад кой кривой, которая предполагается в свою очередь параметризованной длиной дуги. Поэтому функционалы F: С(р, q) -> R можно рассматривать с позиций вариационного исчисления. Таким образом, критическая точка функционала F —это точка, в которой все первые производные обращаются в нуль, а критическое значение — это образ критической точки при отображении F. Функционал F на С(р,9) называется гомотопической функцией Морса, если для любого некритического значения b функционала F, b > а, топологическое пространство F1 (—оо, Ь) гомотопически эквивалентно пространству F1 (—оо, а) с присоединенными клетками, так что каждой критической точке функционала F с критическим значением из интервала (а, Ь) соответствует одна клетка, размерность которой равна индексу этой критической точки.
В этом разделе мы покажем, что функционал лоренцевой длины дуги является гомотопической функцией Морса для C(pjff) при условии, что точки р и q непространственноподобно не сопряжены. Этот результат аналогичен соответствующему результату теории Морса для полных римановых многообразий (см. Милнор (1966, теоремы 16.3 и 17.3)). Именно, если р и q —любые две различные несопряженные точки, то пространство ?2{р>(7) кусочно-гладких кривых из р в q имеет гомотопический тип счетного клеточного комплекса, в котором каждой геодезической из р в q индекса X отвечает одна клетка размерности К.
Для того чтобы L была функцией Морса, необходимо, чтобы точки р Vl q были не сопряжены (какую бы геодезическую из р в q мы ни взяли). Поэтому интересно знать, существуют ли такие пары точек. Как и для римановых пространств, сопряженные точки в произвольном лоренцевом многообразии можно рассматривать как особенности дифференциала экспоненциального отображения. Следовательно, можно применить теорему Сарда (см. Хирш (1976, с. 69)). Подмножество X многообразия M называется здесь имеющим меру нуль, если для каждой карты (U, ф} множество Ф (U П X) cz R" имеет в R" лебегову меру нуль, п = dim М. Подмножество многообразия называется множеством второй категории, если оно содержит пересечение счетного семейства всюду плотных открытых множеств. Подмножество второй категории полного метрического пространства является всюду плотным в M по теореме Бэра о множествах второй категории (см. Келли (1981, с. 264)). Из теоремы Сарда вытекает следующий результат, 254 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
