Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ф I В'0: B0-^J \t;\
инъективно. Поэтому, положив B0 — ф (?0), получаем, что dim B0= = dim Bo — Ind0 (с). Так как B0 — конечномерное линейное пространство и Jh (с) — его подпространство, то можно указать линейное подпространство В пространства B0, такое, что B0 = = В 0 Jb (с), где знак 0 обозначает прямую сумму линейных пространств.
Покажем теперь, что форма / | В х В положительно определена. По построению известно, что форма I \ B0 х В'0 положительно полуопределена. Далее, представляя 0 Ф Z ? В в виде Z = ф (X), где X (I В'0, заключаем, что X ф Jh (с). (Если X ? ? Jb (с), то ф (X) — X, так что Z — ф (X) — X ? Jh (с); последнее невозможно ВВИДУ того, что по построению В П Jb (с) r^1 = {0}.) Следовательно, I (Z, Z) = I (фХ, фХ) > I (X, X) (последнее неравенство получаем согласно формуле (9.17)). Ввиду того что форма / | ?0 х ?o положительно полуопределена, получаем, что / (Z, Z) > / (X, X) S3 0, так что / (Z, Z) > 0. Это рассуждение показывает, что форма / | В x В положительно определена. В обозначениях леммы 9.26 имеем Ind' (с) dim В.
Из разложения B0 в прямую сумму ?0 — В 0 Jb (с) получаем равенство
Ind0 (с) = dim B0 = dim В + dim Jb (с); 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
245
и, кроме того, известно, что Ind' (с) ^ dim В. Поэтому доказательство предложения 9.25 будет завершено, если мы покажем, что Ind' (с) < dim В.
Чтобы установить это неравенство, предположим, что В' cz cz J \ti\ — линеное подпространство, для которого форма I [ В' X В' положительно определена и dim В' = Ind' (с). Допустим, что dim В' > dim В. Тогда форма I положительно нолу-определена на В' @ Jb (с), так что dim (В' @ Jh (с)) < Ind0 (с). С другой стороны, вследствие неравенства dim В' > dim В получаем, что
dim (B' © Jh (с)) > dim (В 0 Jh (с)) = Ind0 (с).
Это противоречие показывает, что dim В' < dim В. Откуда Ind' (с) < dim В, как и требовалось. [~]
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать теорему Морса об индексе для времениподобных геодезических сегментов. Доказательство, которое мы здесь приведем, основывается на доказательстве Громола, Клингенберга и Мейера (1971, с. 168 — 171) для римановых пространств.
Теорема 9.27 (теорема Морса о времениподобном индексе). Пусть с: [a, b ] -+ M — времениподобный геодезический сегмент. Обозначим через Jt (с), t Q [a, b], R-линейное пространство гладких якобиевых полей Y вдоль с, удовлетворяющих условию Y (а) --- Y (Ь) — 0. Тогда 1) число сопряженных точек геодезической с конечно и 2) индекс Ind (с) и квазииндекс Ind0 (с) формы /: V^- (с) X F01 (с) ->• R вычисляются по формулам
Ind(c)= ? dim Jt(t) (9.18)
t € (а, Ь\
Indtl(C)= 2j dim Zi (с) (9.19)
t € (а, Ь]
соответственно.
Доказательство. Покажем, что сумма J] t g {а dim Jt (с) конечна. Мы знаем, что dim Jt (с) ^ 1 тогда и только тогда, когда точка с (t) сопряжена t = а вдоль с. Вложения
Jt(C)^VZ- (с)
можно определить для каждого t Q [а, Ь] при помощи формул
Y (s) для а < s < t, 0 для t < s < Ь.
i(Y) (s) = {
Ясно, что dim Jt (с) = dim і (Jt (с)) для любого t Q (а, Ь]. 246 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Напомним, что, согласно предложению 9.25, индекс Ind0 (с) конечен. Тем самым, для того чтобы показать, что у с лишь конечное число сопряженных точек, достаточно убедиться в том, что если jО, ...,tk\ —любое множество попарно различных точек, сопряженных t — а вдоль с, то k < Ind0 (с). Положим Aj = і (Jt. (с)), где t - 1, 2, ..., k. Тогда А - A1 © • • •© Ah является линейным подпространством VJ (с), и, раскладывая Z а А в сумму Z — J^'j--I^jZj, где rK3 t К, Z3 P Aj, получаем, что / (Z, Z) -- Zjt ,KjllI (Zj, Zi). Если О < t-, то, используя формулу (9.2), включение Z1 t- А, и равенства Zj (a) Zy- (і,) - О, получаем, что I (Z1, Z1) — I (Zj, Z1)'/ , I (Z1, Z,)/', ~-{Ґ„ Z1) \'j -I- / (0, Z/)'t -— 0. В силу симметричности индексной формы / (Z, Z) ---- 0. Поэтому форма / ] А :< А положительно полуопределена. Следовательно,
k < dim А == dim A1 • • ¦ f dim Ah < Ind0 (с),
как и требовалось. Таким образом, с: [a, b I ->- M имеет лишь конечное число сопряженных точек. Обозначим их через I1 < <0 <---<t,, t„j (J (а, Ь]. Для всех і ? (а, Ь\, кроме t ^ P- {0, t.2, ..., tr\, имеем dim Jt (с) -- 0, и поэтому сумма XI dim J1 (с) конечна.
/ Cj (а. ' I
Ввиду того что, согласно предложению 9.25, Ind0 (с) — = Ind (с) -f dim Jb (с), для доказательства теоремы 9.27 достаточно установить справедливость равенства
Ind0 (г) = ? dim Jt (с). (9.20)
/? (а, Ь]
Обозначим через Z1 как обычно, множество целых чисел с дискретной топологией и определим отображения /, /0: (a, b ] ->- Z по правилам / (t) = Ind (с | [0, П) и /0 (t) = Ind0 (с | [0, П). Покажем, что соотношение (9.20) будет выполнено, если отображение / непрерывно слева, а отображение /0 непрерывно справа, т. е. Iinifn 11 f (tn) = / (t), Hm,п 11 /0 (tn) /о (t). Из соотношения (9.15) вытекает, что / (t) —/0 (t) = —dim Jt (с) =-- 0, если t ф. {0, ..., tr\. Допуская, что / непрерывно слева и /« непрерывно справа, имеем также, что / (Очі) /0 (tj) для любого / = 1,2,... ...,г — 1. Тем самым
