Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Кусочно-гладкое отображение Ф: [0, ? I х (—б, б) -> TpM, удовлетворяющее условиям ехрр о Ф = а и Ф (і, 0) = ф (t) для всех t (J [0, ?], можно определить теперь следующим образом. Для данной пары (i, s) (J [0, ? I х (—б, б) выберем / так, чтобы t (J [і], tj+11, и положим Ф (t, s) = (hj)-1 (a (t, s)).
Следствие 9.20 позволяет утверждать, что L (as) = L (ехрр о о Ф) < L (ехрр о ф) = L (с) для каждого s, удовлетворяющего условию \s\ < б, причем равенство имеет место лишь в том случае, когда as — перепараметризация кривой с. ?
При помощи предложения 9.21 можно показать, что отрицательная определенность индексной формы на VJ (с) эквивалентна допущению, что с не имеет на [а, Ь] точек, сопряженных t — а вдоль с.
Теорема 9.22. Для направленного в будущее времениподобного геодезического сегмента с: [а, Ь\-*¦ M следующие высказывания равносильны:
(а) с не имеет на (а, Ь] сопряженных точек.
(б) /: F01- (с) X VJ (с) -> R отрицательно определена.
Доказательство, (а) =ф- (б) Предположим, что в VJ (с) существует Y Ф 0, для которого / (Y, Y) > 0. Пусть a (i, s) = ехрс {0 х X (sY (t)) — каноническая вариация, ассоциированная с Y. Тогда L' (0) ~ 0, L" (0) ----- / (Y, Y) > 0, так что для всех достаточно малых s=/=0 выполняется неравенство L (as) > L (с). Но это противоречит предложению 9.21. Следовательно, / (Y, Y) < 0, если Y Ф 0, так что индексная форма отрицательно полуопределена.
Остается показать, что если Y (J VJ (с) и / (Y, Y) -- 0, то К=0. Возьмем для этого произвольное Z G VJ (с). Согласно замечанию 9.2, Y — iZ ? VJ (с) для всех t (J R. Значит, I (Y — — tZ, Y — tZ) < 0 для всех t (J R вследствие уже установленной выше отрицательной пол у определенности индексной формы. Из равенства I (Y - tZ, Y — tZ) = —2tl (Y, Z) + t2I (Z, Z) вытекает, что / (Y, Z) = 0. Так как Z было взято произвольным, то отсюда, применяя предложение 9.13(6), получаем, что Y — якобиево поле. Ввиду того что с свободна от сопряженных точек, имеем F = O.
(б) =4- (а) Предположим, что Y — якобиево поле, удовлетворяющее условию Y (а) = Y (Z1) = 0, а < Z1 < Ь. Согласно след- 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
241
ствию 9.10, Y ? V1 (с). Продолжим Y до нетривиального векторного поля Z ? vх (с), полагая
[ Yit), если а < t < U, Z(t) = { х' 1 0, если ti^. t <cb.
Тогда / (Z, Z) = I (Z, Zfi 1 (Z, Z)?, = -<Z', Z) 10 = 0. ?
Следствием из теоремы 9.22, весьма существенно используемым при доказательстве теоремы Морса о времениподобном индексе, является нижеследующее свойство максимальности якобие-вых полей относительно индексной формы для времениподобных геодезических без сопряженных точек. Этот результат двойственен минимальности якобиевых полей по отношению к индексной форме для геодезических без сопряженных точек в римановых многообразиях.
Теорема 9.23 (максимальность якобиевых полей). Пусть с: [a, b ] -> M — времениподобный геодезический сегмент без сопряженных точек и J ? Vj- (с) — произвольное якобиево поле. Тогда для всякого векторного поля Y ? V1 (с), отличного от J и такого, что
Y (a) = J (a), Y (b) — J (Ь), (9.13)
выполняется неравенство
I (J, J) > I (Y, Y). (9.14)
Доказательство. Векторное поле W=J — 7 P V01 (с) по условию (9.13), и №ф0, так как по предположению Y^J. Тогда, согласно теореме 9.22, имеем / (W, W) < 0. Вычисляя I (W, W), получаем, что
I (W, Г) = I{Y, К)-2/(/, Y) і-/(У, J) = = I(Y, Y) ; 2(/', Y)\l-(J', J)\l
Ввиду того что Y (a) = J (а) и Y (b) = J (b), имеем (/', Y)\}а = ~ (J', J) \а- Таким образом,
/(Г, W) = I (Y, Y) -f 2 (/', J)\l-(J', J)\l =
= I(Y, Y) f(/', = HY, Y) — I (J, J).
Так как I (W, W) < 0, то требуемое неравенство (9.14) доказано. ?
Теперь после того, как доказана теорема 9.23, можно приступать к рассмотрению теоремы Морса об индексе. Но сначала нам нужно определить индекс для произвольной времениподобной геодезической с: [а, Ь] —>¦ М. Приводимое ниже определение имеет смысл ввиду того, что Vх (с) — линейное пространство. 242 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Определение 9.24. Квазииндекс Ind0 (с) и индекс Ind (с) времениподобной геодезической с: [a, b ] -> M определяются следующими правилами:
Ind0 (с) sup {dim А: А — линейное подпространство пространства V^ (с) и форма / I А X А положительно полуопределен a j и
Ind (с) = sup {dim А: А — линейное подпространство пространства '/(}(с) и форма / I А X Л положительно определена!
Через Jt (с) будем обозначать R-линейное пространство гладких якобиевых полей Y вдоль с, подчиненных условию Y (а) — = Y (t) ----- 0, а < t < Ь.
В предложении 9.25 мы установим связь между Ind (с) и Indu (с) и докажем их конечность. Решающую роль в доказательстве этого предложения играет максимальность якобиевых полей относительно индексной формы для времениподобных геодезических без сопряженных точек. Основные идеи, положенные в основу доказательства предложения 9.25 и теоремы 9.27, восходят к Морсу (1934).
Предложение 9.25. Пусть с: [a, b] -> M — направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент. Тогда индекс Ind (с) и квазииндекс Ind0 (г) конечны и
