Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ind11 (с) = Ind (с) + dim Jb (с). (9.15)
Доказательство. Применим стандартный метод аппроксимации пространства Vlt (г) конечномерными линейными пространствами кусочно-гладких якобиевых полей. Возьмем для этого конечное разбиение а — t0 < Z1 < ... < th ~ b так, чтобы с | Itl, ti+11 не имела сопряженных точек для каждого І, удовлетворяющего условию 0 < г < /г — 1. Обозначим через J подпространство пространства K0' (с), состоящее из всех Y Q K01 (с), таких, что Y I Ui, tM\ — якобиево поле, где і -- 0, 1, ..., k — 1. Из того, что с I I/г, t;+, 1 не содержит сопряженных точек, вытекает, что для любого і dim J {/,•} - (п — 1) (k — 1).
Аппроксимацию ф: V111 (с) -> J \tt\ пространства К0: (с) подпространством J \t:\ определим следующим образом. Пусть X Q Vt;- (с). Для каждого І, подчиненного условию 0 с і < k — 1, построим (единственное) якобиево поле (фХ) I Uu tt+11 вдоль С I Ui, ti+l], удовлетворяющее условиям (фХ) (ti) X (tt) и (фХ) (tM) = X (tl+1). Тем самым X аппроксимируется кусочно-гладким якобиевым полем фХ, у которого (фХ) Ui) = = X (ti) для каждого tt, 0 < і < k. Эта аппроксимация полезна еще и тем, что ф не уменьшает индекса. Более точно, ф j J \tt\ является тождественным отображением, так что / (X, X) — 1 (фХ, фХ), если X Xz J \ti\. С другой стороны, если X ф J {/г}, то
/ (X, X) < / (фХ, ФХ), (9.16) 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических 243
в чем легко убедиться, применив теорему 9.23 к каждому частичному сегменту разбиения и просуммировав полученные неравенства.
Следующее вспомогательное утверждение показывает конечность индекса Ind (с) и квазинидекса Ind0 (с) и позволяет при вычислении этих индексов заменять VJ (г) па J
Лемма 9.26. Пусть Indo (с) и Ind' (с) — соответственно ква-зинндскс и индекс формы I \ J j0} у J \tt\. Тогда
Ind0 (') = Indo (с), Ind (г) = Ind' (с). Следовательно, Ind0 (с) и Ind (г) конечны.
Доказательство. Вследствие единственности якобиева поля J вдоль с 1 Iti, ti+jl, удовлетворяющего условиям J (/;) и и J (Очі) - - w> легко видеть, что отображение ф: VJ (с) --> -+ J [0і является !R-линейным, т. е. если X1, X2 t VJ (с) и а, ? к, то ф (OcX1 + ?X2) ац- (X1) + ?<p (X,)." Поэтому ф отображает линейное подпространство пространства VJ (с) в линейное подпространство пространства J [Ii[.
Чтобы убедиться в справедливости леммы, покажем сначала, что если А — подпространство пространства VJ (с), на котором форма / 1 А X А положительно полуопределена, то отображение ф I А X А: А X А —*¦ J \tt\ инъективно. Пусть X^A и ф (X) == 0. Если X (J1 J \tf\, то ф (X) — X, и, следовательно, X = 0. Если же X ф. J \tt}, то, согласно формуле (9.16), / (ф (X), ф (X)) > / (X, X). Тем самым условие ф X 0 приводит к неравенству I (X, X) < 0, которое противоречит положительной полуопределенности формы / I А X А. Таким образом, если фХ — = 0, то X - 0.
Теперь, зная, что отображение ф инъективно на тех подпространствах пространства VJ (с), где форма / положительно полуопределена, можно завершить доказательство леммы. Пусть А — подпространство пространства VJ (с), на котором форма I \ А х А положительно полуопределена. Тогда из неравенства (9.16) получаем, что индексная форма пространства ZjOI является положительно полуопределенной на подпространстве ф (A) cz J jtt\. Вследствие того что ф инъективно на каждом таком подпространстве (см. выше), получим равенство dim А — dim ф (Л). Значит, Ind0 (с) у? Ind0 (с). С другой стороны, из того, что J {0} является линейным подпространством VJ (г), имеем Indl', (с) < Ind0 (с). Тем самым Ind0 (с) ~ Ind0 (с). Те же самые доводы показывают, что Ind (с) = Ind' (с). ?.
Чтобы завершить доказательство предложения 9.25, мы должны установить справедливость равенства Ind0 (с) = Ind (с) + + dim Jb (с). Возьмем для этого второе разбиение a = S0 < S1 <... 244 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
< sm = b так, чтобы Is1, ..., sm-1} f) Ki- ¦••> h-i] = 0 и с I Ь'г, si+1] не имела сопряженных точек для каждого І, удовлетворяющего условию Ocicm— 1. Обозначим через J js;} линейное подпространство K01 (с), состоящее из всех векторных полей Y, таких, что Y | [sb si+1] — якобиево поле для каждого і — 0, 1, ..., т — 1. Из того, что разбиения Jsj} и ]/,-} различны, за исключением точек а — s0 -- ta и b = sm — th, вытекает, что
J\ti\ П J = Jb(c),
где через Jb (г) обозначено линейное пространство всех (гладких) якобиевых полей J вдоль с, подчиненных условию J (а) = - J (Ь) —---- 0. Согласно следствию 9.10, имеем Jb (г) cz K0'- (с). Кроме того, если X ? J |5(|, но X ф Jh (г), то в силу неравенства (9.16) получаем
/ (X, X) < / (ФХ, ФХ). (9.17)
Применяя доказательство леммы 9.26 к разбиению |s;-} отрезка [а, Ь], выберем линейное подпространство Bo пространства J {Sj-} так, чтобы форма I \ B0 >; ?0 была положительно полуопределена и Ind0 (с) -= dim Bo. Из того, что dim B0 = Ind0 (с) <
< оо, вытекает, что Jh (с) является линейным подпространством ?0. Согласно неравенству (9.17), в соответствии с доказательством леммы 9.26 отображение
